函数的基础知识

函数的概念

定义

函数是一个定义域 A 到值域 B 的映射关系，函数的定义域和值域是一个集合，对于定义域内的每一个数，有且仅有值域内的一个数与之对应，记为 f:A\to B。

注意，定义域的是所有函数值的集合，是陪域的一个子集，严格来说函数是定义域到陪域的映射关系，只是陪域内的数，不一定是有效的函数值，只有值域内的数才是有效的函数值。

1. 函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数勿的集合，自然定义域是式子本身所要求的定义域。
2. 不要轻易对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化。
3. 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分、且（若有）分式有意义的集合。

复合函数：如果 g 的值域为 f 的定义域的子集，那么定义 y=(f\circ g)(x)=f(g(x))。

解析式

已知函数 f 的一些关系式，求 f(x)，最常用的是换元法和变形法，例如：

f(x+1)=x^2

换元法，设 t=x+1，则：

f(t)=(t-1)^2=t^2-2t+1

如果给出多个 f 的值，且自变量有对称性，那么对称联立，例如给出上式：

\begin{cases} 3f(x)+2f(-x)&=x+3\\ 3f(-x)+2f(x)&=-x+3 \end{cases}

类似的还有 x 与 1/x 等。

由多个子函数分段定义的函数称为分段函数，如绝对值函数：

|x|=\begin{cases} x&x\ge0\\ -x&x<0 \end{cases}

分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集。

符号函数是一种常用的分段函数：

\op{sgn}x=\begin{cases} 1&x>0\\ 0&x=0\\ -1&x<0 \end{cases}

反函数

对于二元关系 (f:X\rightarrow Y) 和 (g:Y\rightarrow X)，若 (\forall x\in X)\{g[f(x)]=x\} 且 (\forall y\in Y)\{f[g(y)]=y\}，则称 g 为 f 的反函数，记为 f^{-1}。

设 f 表示一个函数，其定义域为 X、陪域为 Y，若存在一函数 g，其定义域为 Y、陪域为 X，且对于 x\in X 有 g(f(x))=x、对于任意 y\in Y 有 f(g(y))=y，则称 g 为 f 的反函数。

函数 f 的反函数记为 f^{-1}，注意此处的 -1（次方的写法）并不是 -1 次方，比如 \sin 的反函数 \arcsin 也记为 \sin^{-1}。

单调函数总是有反函数，并且反函数的单调性与原函数一致，原函数与反函数的图像关于函数 y=x 的图像对称。

水平线测试：

• 在数学里，水平线测试为一测试方法，用来判断一函数是否为单射、满射或双射。

• 设一带有图像的函数为 f:X\rightarrow Y，接着使用 X\times Y 上的水平线：

  y_0\in Y,\ \{\langle x,y_0\rangle\in f\mid x\in X\}

  若函数为单射，则其图像绝不会和任何一条水平线相交超过一次。

  若函数为满射，则每一水平线和图像至少相交一次。

  若函数为双射，则每一水平线和图像相交于一点且只有一点。

求反函数：记 g 表示函数 f 的反函数，那么从图像的角度考虑，若 \langle x,y\rangle\in f，那么 \langle y,x\rangle\in g，因此，我们对于 y=f(x)=\dots x，只需要将 x,y 互换，得到的就是反函数的解析式。当然也不能写 x=\dots y 的形式，要化为 y=\dots x 的形式。

例题：求 f(x)=2x+1 的反函数。答案：有 y=f(x)=2x+1；交换 x,y，即 x=g(y)=2y+1；整理，得 y=g(y)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}。

朗博 W 函数

我们将朗博 W 函数定义为 f(x)=xe^x 的反函数。

也就是说，有关方程 \displaystyle xe^x=a 可以给出通解

\begin{cases} W_0(a)&a\ge-\frac{1}{e}\\ W_{-1}(a)&a\in\left(-\dfrac{1}{e},0\right) \end{cases}

但是 W(x) 没有初等意义的解析式，只有积分式。

• 将定义域限制在 \displaystyle\left[-\frac{1}{e},+\infty\right) 上，取其在 [-1,+\infty) 上的函数值，那么就定义了一个单调递增的函数 W _0(x)；

• 将定义域限制在 \displaystyle\left(-\frac{1}{e},0\right) 上，取其在 (-\infty,-1) 上的函数值，那么就定义了一个单调递减的函数 W_{-1}(x).

性质：当 a\geq 0 时，{W(x)\cdot e^{W(x)}=x}，此外可以推出

\begin{aligned} x\ln x=a&\implies x=e^{W(a)}\\ x+\ln x=a&\implies x=W(e^a)\\ \frac{\ln x}{x}=-a&\implies x=e^{-W(a)} \end{aligned}

以及朗博不等式，可以同构证明：{xe^x\geq x+\ln x+1}

初等函数

• 正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)。

• 幂型函数：f(xy)=f(x)f(y)。

• 对数型函数：f(xy)=f(x)+f(y)。

• 指数形函数：f(x+y)=f(x)f(y)。

幂函数

形如 y=x^\alpha（通常认为 \alpha\neq0），有性质：

• 函数恒过 (1,1) 点。

• 如果 \alpha>0，那么函数恒过 (0,0).

• 如果 \alpha\in\Z^+，那么函数有奇偶性，与 \alpha 的奇偶性相同。

• 在 (0,\infty) 上函数奇偶性与 \alpha 关于 1 的大小有关。

有幂的性质：

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a}^m

其中 n,m 均为正数且不同奇偶。

a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}

这一条经常用于简化除法的求导，转化为乘法可以更方便。

\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2}

对于自然数 a,b，只有 a^2-b 是完全平方数的时候，才能开出来。

证明：我们设 \sqrt{a+\sqrt{b}} 化简完的结果是 \sqrt x+\sqrt y：

\begin{aligned} \sqrt{a+\sqrt{b}}&=\sqrt x+\sqrt y\\ a+\sqrt{b}&=x+y+2\sqrt{xy} \end{aligned}

因为 a 外面没有根号，与 x+y 相对应：

\left\{\begin{aligned} a&=x+y\\ \sqrt{b}&=2\sqrt{xy} \end{aligned}\right.

然后我们把下面的式子平方，可以写出方程组：

\left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ xy&={b\over4} \end{aligned}\right.

然后用公式：

\left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ x-y&=\sqrt{(x+y)^2-4xy}\\ &=\sqrt{a^2-b} \end{aligned}\right.

或者设 t 满足：

\begin{aligned} (t-x)(t-y)&=0\\ t^2-(x+y)t+xy&=0 \end{aligned}

解这个方程，得到的 t 的两个根分别就是 x 和 y。

具体的：

\begin{aligned} t^2-at+{b\over4}=0\\ t={a\pm\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}

解得：

\left\{\begin{aligned} x&={a+\sqrt{a^2-b}\over2}\\ y&={a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}\right.

因此：

\begin{aligned} &\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt x+\sqrt y\\ =&\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}

减法同理。

指数函数

形如 y=f(x)=a^x（a>0 且 a\neq1），有性质：

• 恒过 (0,1) 点。

• 满足 f(x)\cdot f(-x)=1。

指数函数非积非偶，换元常常先统一底数，例如：

4^x+2^{x+1}+3=(2^x)^2+2\cdot2^x+3

指数函数中，有一种函数特别重要：

f(x)=e^x

其中，e 是一个无理数，近似值为 2.71828\dots。

对数函数

若 a^x=n（a>0 且 a\neq1），则记 x=\log_an，其中 a 为底数，n 为真数。

\begin{aligned} a^{\log_ax}&=x\\ \log_aa^x&=x \end{aligned}

因此：

\begin{aligned} \log_a1&=0\\ \log_aa&=1\\ \end{aligned}

对数也有一些特殊记号，例如：

\begin{aligned} \log_ex&=\ln x\\ \log_2x&=\operatorname{lb}x\\ \log_{10}x&=\lg x \end{aligned}

对数的运算法则与指数相对，如下：

\begin{aligned} \log_axy&=\log_ax+\log_ay&&\qquad&a^xa^y&=a^{x+y}\\ \log_a\frac{x}{y}&=\log_ax-\log_ay&&\qquad&\frac{a^x}{a^y}&=a^{x-y}\\ \log_ax^y&=y\log_ax&&\qquad&(a^x)^y&=a^{xy}\\ \log_a\sqrt[y]x&=\frac{\log_ax}y&&\qquad&\sqrt[y]x&=x^\frac{1}{y} \end{aligned}

另外，还有换底公式，非常常用

\begin{aligned} \log_ax&=\frac{\log_bx}{\log_ba}\\ \log_ax&=\frac{1}{\log_xa}\\ \log_{a^n}b&=\frac{\log_ab}{n} \end{aligned}

另外，还有：

\begin{aligned} x^{\log_ay}&=y^{\log_ax}\\ \log_ab\log_bx&=\log_ax\\ \log_a\dfrac{1}{x}&=-\log_ax \end{aligned}

也就是说：

\begin{aligned} \log_am\log_bn&=\log_bm\log_an\\ \dfrac nm\log_ab&=\log_{a^m}b^n=\log_ab^{\frac nm} \end{aligned}

导数的定义

导数概念

如果函数 f(x) 在 x_{0} 的一个邻域 (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) 有定义，且极限

\boxed{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}}

存在，那么称这个极限为 f 在 x_{0} 的导数，记作 f'(x_{0}) 或 \dfrac{\d f}{\d x}(x_{0})。此时称 f 在 x_{0} 可导。

如果函数 f(x) 在 x_{0} 的一个左邻域 (x_{0} - \delta, x_{0}] 有定义，且极限

\lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}

存在，那么称这个极限为 f 在 x_{0} 的左导数，记作 f'_{-}(x_{0})。

如果函数 f(x) 在 x_{0} 的一个右邻域 [x_{0}, x_{0} + \delta) 有定义，且极限

\lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}

存在，那么称这个极限为 f 在 x_{0} 的右导数，记作 f'_{+}(x_{0})。

函数在 x_{0} 可导的充要条件是它在 x_{0} 的左导数和右导数存在且相等，即 f 在点 x_{0} 连续。（更加严谨的是，可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导）。

如果函数 f 在区间 I 内的每一点都可导，且在端点单侧可导，那么称 f 在区间 I 上可导。此时 x \mapsto f'(x), x \in I 确定了一个函数，称为 f 的导函数，简称导数，记作 f'(x) 或 \dfrac{\d f}{\d x}(x)。后一种符号由德国数学家莱布尼茨发明。

切线问题

观察曲线 y = f(x) 的图像。连接曲线上的两点 (x_{0}, f(x_{0})) 和 (x_{0} + \Delta x, f(x_{0} + \Delta x))，可以得到曲线的一条割线，其斜率

k = \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}

由于函数 f(x) 在 x_{0} 连续，当 \Delta x 趋于 0 时，割线趋于某条特定的直线，这条直线称为曲线在点 (x_{0}, f(x_{0})) 的切线，其斜率

k = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}

这就是导数的几何意义。通过点斜式可以写出切线的方程：y - f(x_{0}) = f'(x_{0}) (x - x_{0})。

注意，在求切线的题里，给定的点 (a,b) 不一定在曲线上，如果不在曲线上，那么设出切点 (x,f(x))，写出：

f'(x)\cdot\dfrac{f(x)-b}{x-a}=-1

若是两条曲线的公切线问题，则切线方程需要算两次，然后根据直线方程列出对应参数相等，例如：求曲线 f(x)=\ln x+2 与曲线 g(x)=\ln(x+1) 的公切线。

• 设公切线切 f 于点 (x_1,\ln x_1+2)，则：

  y=\dfrac{1}{x_1}x+\ln x_1+1

• 设公切线切 g 于点 (x_2,\ln(x_2+1))，则：

  y=\dfrac{1}{x_2+1}x+\dfrac{1}{x_2+1}+\ln(x_2+1)-1

因为这是一条直线，所以列出总方程：

\begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2+1}\\ \ln x_1+1=\dfrac{1}{x_2+1}+\ln(x_2+1)-1 \end{cases}

解得 x_1=\dfrac{1}{2}，带入可知 y=2x+1-\ln2。

一般地，求曲线的切线方程都是通过求导的方式。但是若曲线为二次函数，一般利用的是判别式方法，即联立两方程，若相切则方程只有一个解，用 \Delta=0 计算即可。

上面的写法可能有一些复杂，我们这里提供一个思路清晰的方法，我们将切线问题转化为一个点和一个斜率，设切点 (x_1,y_1),(x_2,y_2)，列出：

• 点：y_1=f(x_1),y_2=g(x_2)。

• 斜：k=f'(x_1)=g'(x_2)。

这样就可以直接把问题转化为一个解方程了。

还有一个经典的问题，过某点有且仅有几条切线，可以直接列出方程，令其有且仅有几个解即可，注意此时应当注意移项除法是否为零。

极限定义

极限法求导数，是最简单的方法，高中数学中需要求导的函数基本上都是连续的，我们无需考虑不连续的情况，因此我们设出一个 \Delta x 表示增量，用微分的思想，例如 f(x)=ax^2：

\begin{aligned} \dfrac{\d f}{\d x}(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} (2ax+a\Delta x) \end{aligned}

我们知道，\Delta x 是趋近于 0，但是 0/0 没有意义，所以我们继续化简，化简到最后，我们的 a\Delta x 也是趋近于 0 的，因此就可以忽略了，即导函数：

f'(x)=2ax

通过一些多项式定理、三角恒等变换等，我们可以轻松得出下面的几个常用导数：

导数的运算

四则运算

导数的加减法则：

\boxed{[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)}

证明：

\begin{aligned} [f(x)\pm g(x)]' &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)]-[f(x)\pm g(x)]}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)-f(x)]\pm [g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x} \pm \dfrac{[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0} f'(x)\pm g'(x) \end{aligned}

导数的乘法法则：

\boxed{[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}

同时，如果 g(x)=c 也就是说：

\boxed{[cf(x)]'=cf'(x)}

导数的除法法则：

\boxed{\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}}

可以由：

\boxed{\left[\dfrac{1}{g(x)}\right]'=-\dfrac{g'(x)}{g^2(x)}}

推导得到，而上式可以通过复合函数，结合 [x^{-1}]'=-x^{-2} 推导得到。

同时根据我们熟知的 [e^x]'=e^x，利用导数的除法法则可以用于推导对数函数，另外还有正切函数的导数。

链式法则

容易知道：

\boxed{\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d z}\cdot\dfrac{\d z}{\d x}}

此时，我们令 y=f[g(x)]，z=g(x)，那么：

\dfrac{\d f(g(x))}{\d x}=\dfrac{\d f(g(x))}{\d g(x)}\cdot\dfrac{\d g(x)}{\d x}

也就是说：

\boxed{(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}

这就是复合函数的导数，根据这个可以推导反函数求导：

\dfrac{\d y}{\d x}\cdot\dfrac{\d x}{\d y}=1

也就是说函数的导数与其反函数的导数互为倒数：

\boxed{f'(x)\cdot(f^{-1})'(y)=1}

例如：

\begin{aligned} [\arcsin x]'&=\dfrac{1}{(\sin y)'}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ [\arccos x]'&=\dfrac{1}{(\cos y)'}=-\dfrac{1}{\sin y}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ [\arctan x]'&=\dfrac{1}{(\tan y)'}=\cos^2y=\dfrac{1}{x^2+1}\\ \end{aligned}

另外还有一种对数求导法：

\boxed{[\ln h(x)]'=\frac{h'(x)}{h(x)}}

那么，也就是说：

\boxed{h'(x)=h(x)[\ln h(x)]'}

这对于 h(x) 为幂函数、指数函数的求导非常有帮助，具体的：

[a^x]'=a^x[\ln a^x]'=a^x[x\ln a]'=a^x\ln a

[x^n]'=x^n[\ln x^n]'=x^n[n\ln x]'=x^n\dfrac{n}{x}=nx^{n-1}

高阶导数

设函数 f(x) 在区间 I 上有导数 f'(x)：

• 若 f' 在 I 上可导。其为二阶导数，记作 f''(x) 或 f^{(2)}(x) 或

  \dfrac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} x^{2}}(x)

• 如果二阶导数仍然可导，那么就有三阶导数 f'''(x) 或 f^{(3)}(x) 或

  \dfrac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} x^{3}}(x)

• ……

• 如果 f 的 n - 1 阶导数可导，那么称其导数为 f 的 n 阶导数

  \dfrac{\mathrm{d}^{n} f}{\mathrm{d} x^{n}}(x)

  记作 f^{(n)}(x)。无限阶可导的函数称为光滑函数。

根据定义，不难得到两个函数和、差的高阶导数：

\boxed{[f(x) \pm g(x)]^{(n)} = f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)}

对于两个函数乘积的高阶导数，则有莱布尼茨公式：

\boxed{[f(x) g(x)]^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x)}

证明由数学归纳法即可。

隐函数偏导

对于多元函数 z=F(x,y) 或更一般的 F(x,y,\dots)，我们研究其对某一个变量的变化率时，我们假装其他所有变量都是常数，然后像求普通导数一样，只对我们关心的那个变量求导，这就是偏导，为了与普通的导数 \d 区分，我们用一个新的符号 \partial，例如记函数 F 对 x 的偏导为 F_x，其计算方法为：

\boxed{\begin{aligned} F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{F(x+\Delta x,y)-F(x,y)}{\Delta x}\\ F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)&=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y} \end{aligned}}

在计算偏导的时候，求对某个变量的偏导数时，就把其他所有变量都看作是常数，然后按照普通求导的方法计算即可，例如以 F(x,y)=x^2+3xy+y^3 为例：

\begin{cases} F_x&=2x+3y\\ F_y&=3y^2+3x\\ \end{cases}

可以写成 y=f(x) 的称为显函数，而有些是由方程 F(x,y)=0 确定的，这种函数称为隐函数。隐函数求导的核心是，将 y 看成 f(x)，然后对等式两边关于 x 求导，此时应当使用链式法则。

例如对于一个关于 y 的式子 g(y)，其导数应当为 g'(y)\cdot y'，也就是说，我们对这个式子直接关于 y 求导之后，还要再乘上 y'，最后式子化为仅和 x,y,y' 有关的式子，用 x,y 表示 y' 即可。

例如，我们对 x^2+4y^2-16=0 求导，两边对 x 求导：

2x+8y\cdot y'=0

也就是说：

y'=-\dfrac{x}{4y}

此时，带入满足曲线方程上的点 (x,y)，得到的即为该处的切线斜率。

另外，还可以通过求偏导的方式解决，我们容易求出：

\begin{cases} F_x&=2x\\ F_y&=8y \end{cases}

那么，根据下面的式子：

\boxed{\dfrac{\d y}{\d x}=-\dfrac{F_x}{F_y}}

也可以得出上面的导数，可以用于求曲线的切线方程。容易发现，后面的这个分数，相反数，完全就是 (F_y,F_x) 的法线斜率，这也可以用曲面的倾斜方向来解释。但是这个观点过于高深，我们不去涉及。

洛必达法则

我们已经知道：

• 当 x 趋于 0 时，\ln x 趋于 -\infty；当 x 趋于 +\infty 时，\ln x 趋于 +\infty；

• 当 x 趋于 -\infty 时，e^x 趋于 0；当 x 趋于 +\infty 时，e^x 趋于 +\infty；

• 当 x > 0 且 x 趋于 0 时，\dfrac{1}{x} 趋于 +\infty；当 x < 0 且 x 趋于 0 时，\dfrac{1}{x} 趋于 -\infty。

而洛必达法则定义了更加复杂的分式型极限，若当 x\to a，有 f(x),g(x) 同时趋近于 0 或无穷，那么：

\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}

例如当 x \to +\infty 时，分式函数

f(x) = \frac{e^x}{x^2}

的分子 e^x \to +\infty 且分母 x^2 \to +\infty，则无法直接判断 f(x) 的取值趋势，利用洛必达法则可得

\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x}

分子 e^x 和分母 2x 依然趋于正无穷，故再次利用洛必达法则可得

\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty

注意：如果不是 \dfrac{0}{0} 型或者 \dfrac{\infty}{\infty} 型，则需要先变形使之成为 \dfrac{0}{0} 型或者 \dfrac{\infty}{\infty} 型。比如 0 \cdot \infty 型可以转化为 \dfrac{0}{\frac{1}{\infty}} 型或 \dfrac{+\infty}{\frac{1}{0}} 型。举个例子：当 x \to 0 时，x \ln x 中 x \to 0，\ln x \to -\infty，可将其变形为 x \ln x = \dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}}，之后再用洛必达法则。

一定要注意洛必达法则的前提：分子和分母都趋于 0 或 \infty，否则洛必达失效！比如我们都知道

\lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0

但如果你用洛必达法则就会得到错误的结论：

\lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\cos x}{1} = \text{不存在}