圆周运动
圆周运动相关定义
物理量
- 线速度：单位时间通过的弧长，v(\mathrm{m/s})；
- 角速度：单位时间通过的角度，\omega(\mathrm{rad/s})；
- 周期：完成一次的时间，T(\mathrm{s})；
- 频率：单位时间完成的次数：f(\mathrm{s^{-1},Hz})；
- 转速：单位时间完成的圈数：n(\mathrm{r/s})。
匀速圆周运动
T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{\omega}
推导出来：
v=\omega r
即速度（v）在（=）绕（r）弯（\omega）。
f=n=\dfrac{1}{T}
向心力和向心加速度
向心力：
F_c=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2r=mv\omega
向心加速度：
a_c=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r=v\omega
圆周运动解题思路
列表法
对于匀速圆周运动多个圈的题目，列表：
\begin{array}{|c|l|l|l}\hline &P_c&Q_c&\dots\\\hline \bm r\\\hline \bm \omega\\\hline \bm v\\\hline \bm a\\\hline \end{array}
上面对应的就是几个圆周，从上到下填表。
填表的时候常用公式 a=v\omega。
如果是求比例，那么设 \omega 相同的点为单位 1。
关联速度
现象：传送带上，各处线速度相同；同一物体，各处角速度相同。
现象：沿绳沿杆速度大小相同，力相同，垂直于接触面方向速度相同。
解决方法：
- 判断合运动方向；
- 分解合运动到沿绳沿杆方向；
- 根据速度分量列等式。
牛二思路
切线方向，列平衡式子，注意这个式子一定要列，下面可能会用到；
向心方向，列 $F_合=F_向 （匀速），其中合外力通过受力分析找，r$ 要找。
常有模型：圆锥摆。
圆锥摆模型
基础圆锥摆模型
指向圆心和竖直方向建系，列出两个方向上的牛二方程：
\begin{aligned} F_合=T\sin\theta\\ T\cos\theta=mg \end{aligned}
其中 \theta 为绳子和竖直方向的夹角。
列出合外力等于向心力：
F_合=m\omega^2r
计算得到：
\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}
同角不同面模型
物体和法线的夹角相同，但是不同水平面，如右图所示。
假设接触面光滑：
\begin{aligned} F_合=F_N\cos\theta\\ F_N\sin\theta=mg \end{aligned}
结论是向心加速度相同：
a=\dfrac{F_合}{m}=g\cot\theta
同角不同面，最常见的是漏斗里面小球转圈圈。
根据 F_向=ma，因此质量越大，向心力越大。
根据 \displaystyle F_N=\dfrac{mg}{\sin\theta}，因此质量越大，对斜面压力越大。
根据 a=\omega^2r，因此半径越大，角速度越小。
根据 \displaystyle a=\dfrac{v^2}{r}，因此半径越大，线速度越大。
同面不同角模型
物体在同一平面，与法线的夹角不同，如右图。
根据圆锥摆的公式，角速度 \omega 对各物体相同：
\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}=\sqrt{\dfrac{g}{H}}
根据 a=\omega^2r，因此半径越大，加速度越大。
根据 v=r\omega，因此半径越大，线速度越大。
反向推论：角速度相同，则物体也会在同一平面上。
圆锥摆求夹角
在一根长度为 l 的绳子下端悬挂一个质量为 M 的小球，以匀角速度 \omega 旋转。
求：绳子与铅锤方向所成的角 \theta。
易得：
\begin{aligned} T\cos\theta&=Mg\\ T\sin\theta&=M\omega^2r=M\omega^2l\sin\theta \end{aligned}
注意到一个可行解是 \sin\theta=0，即 \theta=0（因为 \theta=\pi 是不稳定状态）。
否则，
T=M\omega^2l
即，
Mg=T\cos\theta=M\omega^2l\cos\theta
\cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2l},\theta=\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right)
结论：
\theta=\left\{\begin{aligned} &0&,\omega\le\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\ &\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right)&,\omega>\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\ \end{aligned}\right.
圆锥摆临界问题
先求出临界状态下的角速度。
根据临界角速度和实际角速度，做出受力分析。
圆盘模型
单物体圆盘模型
一个水平转动的圆盘上有一个物体。
此时，摩擦力提供向心力，物体与圆盘之间的摩擦因数为 \mu。
当最大静摩擦力（大小视为滑动摩擦力）等于向心力时恰好不滑动。
\mu mg=m\omega^2r
得出：
\omega=\sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}
多物体圆盘模型
一个水平转动的圆盘上两个物体，考虑谁会先开始滑动。
物体 m_1,m_2,\mu_1,\mu_2，可以计算出每个物体的临界角速度。
\begin{aligned} \mu_1m_1g&=m_1\omega_1^2r_1\\ \mu_2m_2g&=m_2\omega_2^2r_2\\ \end{aligned}
得出：
\begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu_1g\over r_1}\\ \omega_2&=\sqrt{\mu_2g\over r_2} \end{aligned}
即 \displaystyle{\mu\over r} 小的先发生滑动，大的后发生滑动。
如果摩擦系数相同，则离圆心越远，越先开始滑动。
同侧连接体圆盘模型
两物体质量分别为 m_1,m_2，用轻绳连接。
两物体与圆盘摩擦系数为 \mu_1,\mu_2，且距圆心分别为 r_1,r_2(r_1<r_2) 同侧。
问题一：转速多大绳子出现拉力。
根据单物体圆盘模型，两物体独立的临界角速度分别为：
\omega_1=\sqrt{\mu_1g\over r_1}
\omega_2=\sqrt{\dfrac{\mu_2g}{r_2}}
如果 \omega_1<\omega_2，则绳子会松弛，我们不考虑这个情况。
因此，当转速大于等于 \omega_2 的时候，绳子会出现拉力。
问题二：转速多大物体一起运动。
对物体整体法分析：
\mu_1m_1g+\mu_2m_2g=m_1\omega^2r_1+m_2\omega^2r_2
得出：
\omega=\sqrt{\dfrac{(\mu_1m_1+\mu_2m_2)g}{m_1r_1+m_2r_2}}
假设物体质量相等，即 m_1=m_2，则有：
\omega=\sqrt{(\mu_1+\mu_2)g\over r_1+r_2}
假设物体摩擦因数相等，即 \mu_1=\mu_2，则有：
\omega=\sqrt{\dfrac{\mu g(m_1+m_2)}{m_1r_1+m_2r_2}}
假设 m_1=m_2 且 \mu_1=\mu_2，则有：
\omega=\sqrt{\dfrac{2\mu g}{r_1+r_2}}
注意到不可能有 r_1=r_2，因为是两个物体。
异侧连接体圆盘模型
可以进行质心的分析，简单来说两物体需要提供的向心力增量：
\begin{aligned} \Delta F_1&=m_1\Delta(\omega^2)r_1\\ \Delta F_2&=m_2\Delta(\omega^2)r_2 \end{aligned}
随着 \omega 的增大，一定有一个先产生相对滑动趋势，假设是 1 物体。
\omega_1=\sqrt{\dfrac{\mu_1g}{r_1}}
表示达到这个角速度时 1 物体恰好没有产生相对滑动趋势。
此时，我们知道角速度增大一个小的增量 \Delta\omega，绳子就会提供 \Delta F_1 的拉力。
此时注意到，如果 \Delta F_1>\Delta F_2，也就是 m_1r_1>m_2r_2，此时绳子拉力的增大快于了 2 物体向心力的需求增量。那么，2 物体的摩擦力就会减小，然后反向，最终向 1 物体一侧滑开。我们设 \omega_2 表示恰好 2 物体没有摩擦力，\omega_3 表示恰好不滑动。
\begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu g\over r_1}\\ \omega_2&=\sqrt{\mu g\over r_1-r_2}\\ \omega_3&=\sqrt{2\mu g\over r_1-r_2} \end{aligned}
此时注意到，如果 \Delta F_1=\Delta F_2，也就是 m_1r_1=m_2r_2，绳子拉力的增量等于了 2 物体向心力的需求增量。那么，此时绳子拉力不断增大，1 物体保持最大静摩擦状态，2 物体保持原先的摩擦力大小，然而绳子拉力大小不断增大，有拉力 T 和角速度的关系：
T=m_2(\omega^2-\omega_1)^2r_2
此时注意到，如果 \Delta F_1<\Delta F_2，也就是 m_1r_1<m_2r_2，此时绳子拉力的增量不足 2 物体向心力的需求增量，因此 2 物体摩擦力继续增大，因为绳子拉力保持了 1 的静止，因此最终发生 2 的最大静摩擦及滑动，向 2 物体一侧滑开。
注意到这个可以通过质点的形式解决，我们将会在质点系中再次讨论。
非匀速绳杆模型
基础形态
区别：绳子无法提供对物体向上的力。
列式：
\begin{aligned} G+T&=F_c\\ mg+T&=m\frac{v^2}{r} \end{aligned}
绳模型
考虑最高点最小速度、恰好经过顶点、绳子无拉力：
物理量的表示，即：v 最小，F_c 最小，T 为 0。
故：
\begin{aligned} mg&=m\frac{v^2}{r}\\ v&=\sqrt{gr} \end{aligned}
性质：
在圆上一定满足提供了向心力 F_r=\dfrac{mv^2}{r}。
脱离的临界态：在圆上、无拉力弹力、向心方向恰好提供了 F_r。
脱离的瞬间重力与所在半径连线夹角 \cos\theta=\dfrac{v^2}{gr}。
杆模型
杆子可以提供最大为 -mg 的力（表示为顶着物体）。
即，有最高点最小速度 v=0，杆子不受力 v=\sqrt{gr}。
最高点时，杆子的力可以向上、向下，因此记临界速度 v_0=\sqrt{gr}：
若 v>v_0 则杆子对物体的力向下，若 v<v_0 杆子对物体的力向上。
然后写牛二式子 mg\pm T=m\dfrac{v^2}{r}。
拉力的作用力范围为 (-\infty,mg]，以支持力为正。
圆环模型
小球在圆环里面转圈，双环相当于杆，单环相当于绳。
注意到双环中，只可能两侧中的一侧受力，写牛二即可求 T。
动能定理
重力做功等于动能变化量，最高点速度可以求出来。
那么就可以求出来最低点的速度以及绳子的拉力。
绳子碰钉模型
一个绳子拴着小球，摆下来遇到钉子然后绕着更小的半径运动。
瞬间小球速度不变，忽略能量损耗，小球线速度 v 始终不变。
根据 \displaystyle F=\dfrac{mv^2}{r}，绳子拉力增大；
根据 \displaystyle\omega=\dfrac{v}{r}，角速度增大；
根据 a=v\omega，加速度增大。
根据 \displaystyle T=\dfrac{2\pi}{\omega}，周期减小。