平面体系
平面坐标系
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系（也称直角坐标系）在数学中是一种正交坐标系，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为 x 轴和 y 轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 O。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为 xy 平面，又称为笛卡尔平面。
通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地，x 轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y 轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。
为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x 轴刻画的数值为 x 坐标，又称横坐标，称 y 轴刻画的数值为 y 坐标，又称纵坐标。
虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为 (x,y)。任何一个点 P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点 P 画一条垂直于 x 轴的直线。从这条直线与 x 轴的相交点，可以找到点 P 的 x 坐标。同样地，可以找到点 P 的 y 坐标。这样，我们可以得到点 P 的直角坐标。
皮克定理
给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，
皮克定理指出，其面积 S 和内部格点数目 i、边上格点数目 b 的关系：
S=i+{b\over2}-1
可以使用数学归纳法证明。
欧几里得变换
平移与旋转
平移：
如果所有点的初始坐标是 (x,y)，在平移之后它们的坐标将是：
(x',y')=(x+a,y+b)
平移平面上的一个点集，保持在它们之间的距离，等价于在点集中所有的笛卡尔坐标上增加固定的一对数值 (a,b)。
旋转：
要绕原点逆时针旋转一个图形 \theta 度，等价于将所有点的坐标为 (x,y) 替代为坐标 (x',y')，这里有：
x'=x\cos \theta -y\sin \theta
y'=x\sin \theta +y\cos \theta
因此：
(x',y')=(x\cos \theta -y\sin \theta,x\sin \theta +y\cos \theta)
详见线性代数章节。
对称性问题
对称是否属于欧几里得变换存在争议，但是很多教材将其列为其中。对称性问题主要涉及以下三个方面的内容：点关于点中心对称、点关于直线对称、直线关于直线对称。
点关于点中心对称：若点 M(x_0, y_0) 及点 N(x, y) 关于点 P(a, b) 对称，则由中点坐标公式得
\begin{cases} x = 2a - x_0 \\ y = 2b - y_0 \end{cases}
点关于直线成轴对称：设点 P(x_0, y_0) 关于直线 y = kx + b 的对称点为 P'(x', y')，则
\begin{cases} \dfrac{y' - y_0}{x' - x_0} \cdot k = -1 \\ \dfrac{y' + y_0}{2} = k \cdot \dfrac{x' + x_0}{2} + b \end{cases}
若将直线沿 y=kx 对称，记倾斜角为 \theta，那么将所有 x 替换成 {x\cos 2\theta+y\sin 2\theta}，将所有 y 替换成 {x\sin 2\theta-y\cos 2\theta}。
直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
曲线的对称：
曲线关于点中心对称、曲线关于直线轴对称一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化），一般结论如下：
曲线 f(x, y) = 0 关于点 A(a, b) 对称的曲线方程是 f(2a - x, 2b - y) = 0。
曲线 f(x, y) = 0 关于直线 y = kx + b 对称的曲线方程的求法：设对称曲线上任意一点为 P(x, y)，其对称点在曲线 f(x, y) = 0 上的坐标为 P'(x_0, y_0)，可用 P(x, y) 表示 P'(x_0, y_0)，将 P'(x_0, y_0) 代入已知曲线方程 f(x, y) = 0，应有 f(x_0, y_0) = 0，即可求出曲线 f(x, y) = 0 关于直线 y = kx + b 对称的曲线方程。这种方法称为相关点代入法。
在高中解析几何中，点关于直线的对称点公式如果直接死记硬背 x'=... 和 y'=...，不仅公式长、容易记错正负号，而且一旦遗忘在考场上会非常慌乱。为了把记忆负担降到最低，且能在考场上推导出来，建议掌握以下比例式记忆法和参数推导法。
不要记分离的 x 和 y 公式，请记住这个完美对称的比例式，假设对称点为 P'(x', y')：
\frac{x' - x_0}{A} = \frac{y' - y_0}{B} = -2 \frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2}
左边（方向）：因为点 P 和 P' 的连线与直线垂直，所以连线的方向向量与直线的法向量 (A, B) 平行。所以 \Delta x 和 \Delta y 的比例就是 A 和 B。
右边的分子（误差）：把原点 P(x_0, y_0) 直接代入直线方程的左边 Ax_0 + By_0 + C。
右边的分母（法线长度的平方）：就是 A^2 + B^2（注意，这里没有根号！联想点到直线距离公式是有根号的，平方一下根号就没了）。
系数“-2”：
负号代表你要走到直线的“另一侧”（消除误差）。
数字 2 代表距离翻倍（如果是求垂足，只走一半，把 -2 变成 -1 即可！买一送一）。
如果考场上你连上面的公式都忘了，或者对分母有没有根号产生了自我怀疑，不要去解复杂的二元一次方程组，用下面这个方法，在草稿纸上推出来：
**设参数 t：**因为连线与直线垂直，法向量是 (A,B)，直接设对称点 P' 的坐标为：
x' = x_0 + A \cdot t
y' = y_0 + B \cdot t
找中点：P 和 P' 的中点必定在直线上。中点坐标显然是
(x_0 + \frac{1}{2}At, \ y_0 + \frac{1}{2}Bt)
代入直线方程解 t：
A(x_0 + \frac{1}{2}At) + B(y_0 + \frac{1}{2}Bt) + C = 0
展开，把含 t 的放在一起：
(Ax_0 + By_0 + C) + \frac{1}{2}t(A^2 + B^2) = 0
直接解出 t：
t = \frac{-2(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}
**结束：**把 t 代回第一步，公式就出来了！
你只需要在大脑中刻下这个“套娃”口诀：
\vec{P'} = \vec{P} - 2 \frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2} \vec{n}
方向靠法线 (A,B)，代点进方程，底下除以方和 (A^2+B^2)，对称乘 -2（垂足乘 -1）。