三角函数例题

例题一

2\cos^2{B\over2}+\sqrt3\sin B=3

• 求 B.

\cos B=2\cos^2{B\over2}-1\\ \cos B+\sqrt3\sin B=2\\ {\sqrt3\over2}\sin B+{1\over2}\cos B=1\\ \sin B\cos30^\circ+\cos B\sin30^\circ=1\\ \sin(B+30^\circ)=1=\sin90^\circ\\ B=60^\circ

例题二

(\sin B-\sin C)^2=\sin^2 A-\sin B\sin C

• 求 A.
• 若 \sqrt2a + b= 2c，求 C.

观察到是角的二次齐次式，且都是正弦，考虑正弦定理，

(\sin B-\sin C)^2=\sin^2 A-\sin B\sin C\\\\ (b-c)^2=a^2-bc\\\\ b^2+c^2-2bc=a^2-bc\\\\ a^2=b^2+c^2-bc

于是，

\cos A={b^2+c^2-a^2\over2bc}={1\over2}\\\\ A=60^\circ

观察到 \sqrt2a + b= 2c 为边的一次齐次，考虑用正弦定理。

\sqrt2a+b=2c\\\\ \sqrt2\sin A+\sin B=2\sin C

根据上一问，\sin A=\sin60^\circ=\sqrt3/2，

\sqrt6/2+\sin B=2\sin C\\\\ \sqrt6/2+\sin(120-C)=2\sin C\\\\ \sqrt6/2+\sqrt3/2\cos C+\sin C/2=2\sin C

继续整理，

{\sqrt6\over2}+{\sqrt3\over2}\cos C+{1\over2}\sin C=2\sin C\\\\ {3\over2}\sin C-{\sqrt3\over2}\cos C={\sqrt6\over2}\\\\ {\sqrt3\over2}\sin C-{1\over2}\cos C={\sqrt2\over2}\\\\ \sin C\cos30^\circ-\cos C\sin30^\circ={\sqrt2\over2}\\\\ \sin(C-30^\circ)={\sqrt2\over2}=\sin45^\circ

因为 C \in (0^\circ,120 ^\circ)，C-30^\circ\in(-30^\circ,90^\circ)，因此，

C-30^\circ=45^\circ,\ C=75^\circ

例题三

在锐角 \triangle ABC 中，

2b\sin A-\sqrt3a=0

• 求 B.
• 求 \cos A+\cos B+\cos C 的取值范围。

不考虑 \sin A 是边的二次齐次式，于是应用正弦定理，

2\sin B\sin A-\sqrt2\sin A=0\\\\ 2\sin B=\sqrt3\\ \sin B=\sqrt3/2

因为 \angle B 是锐角，

B=60^\circ

设，

\def\degree{^\circ} \begin{aligned} S&=\cos A+\cos B+\cos C\\ &=\cos A+\cos C+1/2\\ &=\cos(120\degree-C)+\cos C+1/2\\ &=-{1\over2}\cos C+{\sqrt3\over2}\sin C+\cos C+{1\over2}\\ &={\sqrt3\over2}\sin C+{1\over2}\cos C+{1\over2}\\ &=\sin C\cos30\degree+\cos C\sin30\degree +1/2\\ &=\sin(C+30\degree)+1/2 \end{aligned}

因为 0^\circ<A,B,C<90^\circ，

\def\degree{^\circ} \begin{cases} 0\degree<&C&<90\degree\\ 0\degree<&B&<90\degree \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 0\degree<&C&<90\degree\\ 0\degree<&120-C&<90\degree \end{cases}

即，30^\circ<C<90^\circ，60^\circ<C+30^\circ<120^\circ。

画出单位圆，易得 \sin(C+30\degree)\in(\sqrt3/2,1]，即，

\cos A+\cos B+\cos C\in\left({\sqrt3+1\over2},{3\over2}\right]

例题四

在 \triangle ABC 中，a+b=11，

\cos A={1\over8},\cos B={9\over16}

• 求 a,b。

考虑余弦转正弦，因为是三角形的角，因此正弦值非负，

\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{63\over64}={3\sqrt7\over8}\\ \sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\sqrt{175\over256}={5\sqrt7\over16}

{a\over b}={\sin A\over\sin B}={6\over5}

因此 a=6,b=5。

例题五

{\sin A\over\sin B-\sin C}={b+c\over b-a}

• 求 \cos C。

考虑 \cos C 可以怎么表示，可以通过 \sin C 用毕达哥拉斯定理，也可以余弦定理。

考虑到这个原形式是一次齐次，因此考虑角化变。

{a\over b-c}={b+c\over b-a}\\ b^2-c^2=ab-a^2\\ c^2=a^2+b^2-ab

因此，

\cos C={a^2+b^2-c^2\over2bc}={1\over2}

例题六

若，

\begin{cases} \sin A=3\sin B\\ c=\sqrt5\\ \cos C=5/6 \end{cases}

• 求 a。

尝试考虑这三个东西各自什么用。

最容易发现第二个式子最简单，可以最后带入用。

因为 \cos 关于余弦定理，关于边数多，因此考虑后用。

第一个式子结构很好，是一次齐次，因此带入第一个正弦定理。

a=3b

又因为，

\cos C={a^2+b^2-c^2\over2ab}

带入即可，解得 a=3。

例题七

若，

\begin{cases} b\sin2A=a\sin B\\ c=2b \end{cases}

• 求 a/b。

考虑到第二个式子的形式很简单，因此用于消元。

第一个形式中，出现了二倍角，是不好处理的，因此考虑正弦定理。

\sin B\sin2A=\sin A\sin B\\ \sin A=\sin2A\\ \sin A=2\sin A\cos A\\ \cos A=1/2

考虑到 a/b 是一个一次其次的比例式，因此余弦定理，

\cos A={b^2+c^2-a^2\over2bc}

带入，解得 a^2=3b^2，即 a/b=\sqrt3。

例题八

在 \triangle ABC 中，

S=a^2-(b-c)^2

求 \sin A。

这个式子没有很好的性质，考虑展开，

S=a^2-b^2-c^2+2bc

注意到这个形式，而且还是二次齐次式，根据余弦定理，

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

有，

S=2bc(1-\cos A)={1\over2}bc\sin A\\ \sin A=4-4\cos A

联立得方程，

(4-4\cos A)^2+\cos^2A=1\\ 16(1-\cos A)^2=(1-\cos A)(1+\cos A)\\ 16-16\cos A=1+\cos A\\ \cos A={15\over17}, \sin A={8\over17}

例题九

在 \triangle ABC 中，

\sin A=2\sin B\cos C\\ a^2=b^2+c^2-bc

• 求，\triangle ABC 形状。

两个式子都很典型，第二个好说，先处理，

联立二式及余弦定理，

a^2=b^2+c^2-bc\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

得，

\cos A={1\over2},A=60^\circ

第一个式子，可以不带入 A，尝试通过三角函数的变换，

\begin{aligned} \sin A&=\sin(\pi-B-C)=\sin(B+C)\\ &=\sin B\cos C+\cos B\sin C \end{aligned}

联立下式及一式，

\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\cos C\\ \sin B\cos C=\cos B\sin C\\ \tan B=\tan C

因为 B,C\in(0,\pi)，正切函数在此范围内唯一，则

B=C=A=60^\circ

即 \triangle ABC 是正三角形。

例题十

在 \triangle ABC 中，

\cos(2B+C)+\cos C>0

• 判断三角形是锐角、直角、钝角三角形。

容易发现，\cos 里面的角有很好的性质，考虑和差化积，

\begin{aligned} &\cos(2B+C)+\cos C\\ =\;&2\cos(B+C)\cos B\\ =\;&-2\cos A\cos B>0 \end{aligned}

因此，

\cos A\cos B<0

即 A,B 中有一个钝角，即 \triangle ABC 为钝角三角形。

例题十一

在 \triangle ABC 中，三边长分别为 a,a+2,a+4，最小角余弦值为 13/14。

• 求该三角形的面积

因为大边对大角，因此最小角是 a 对的，

\cos A={(a+2)^2+(a+4)^2-a^2\over2(a+2)(a+4)}={13\over14}

解得，a=3，于是用海伦公式，

p={3+5+7\over2}={15\over2}

S=\sqrt{{15\over2}\cdot{9\over2}\cdot{5\over2}\cdot{1\over2}}={15\sqrt3\over4}

例题十二

在 \triangle ABC 中，\angle A=120^\circ，BC=6。

• 求：其面积最大值。

考虑面积可以怎么表示。

Solution 1:

S={1\over2}bc\sin A={\sqrt3\over4}bc

根据余弦定理，

36=a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2+bc\ge3bc

即，

bc\le12,S\le3\sqrt3

Solution 2:

考虑到顶角不变，则可以固定底边，使顶点移动。

易知其轨迹为一个圆弧，则面积最大即底边高线最大。

高线最大即该三角形为等腰三角形，做出高线，

S={1\over2}ah=3\sqrt3

例题十三

在 \triangle ABC 中，若

a-b=c(\cos B-\cos A)

• 判断其形状。

考虑到余弦定理展开后是三次式，有点复杂，因此正弦定理。

\sin A-\sin B=\sin C\cos B-\sin C\cos A

考虑凑项，右边的两项很像正弦的和角公式，于是，

\begin{aligned} &\sin(B+C)-\sin(A+C)\\ =\;&\sin B\cos C+\sin C\cos B-\sin A\cos C-\sin C\cos A\\ =\;&\sin C\cos B-\sin C\cos A \end{aligned}

化简，

(\sin B-\sin A)\cos C=0

即 \sin A=\sin B 或 \cos C=0，

即 \triangle ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题十四

若 \triangle ABC 中，\angle C 为钝角，且其面积，

S={\sqrt3\over4}(a^2+c^2-b^2)

• 求 \angle B。

考虑到 a^2+c^2-b^2 是经典掉牙的形式，

\cos B={a^2+c^2-b^2\over2ac}

于是，

S={\sqrt3\over4}\cdot2ac\cos B={\sqrt3\over2}ac\cos B

考虑很经典的面积公式，

S={1\over2}ac\sin B={\sqrt3\over2}ac\cos B\\ \sin B=\sqrt3\cos B\\ \tan B=\sqrt3,B=60^\circ

例题十五

在 \triangle ABC 中，

\sin^2A-\sin^2B-\sin^2C=\sin B\sin C

• 求 A.
• 若 BC=3，求其周长最大值。

因为是正弦的二次齐次式，考虑正弦定理，

a^2=b^2+c^2+bc

于是 \angle A=120^\circ。

考虑周长最大，即 b+c 最大，

a^2=9=b^2+c^2+bc\ge3bc\\ bc\le3

考虑周长如何建立联系

b+c=\sqrt{b^2+c^2+2bc}=\sqrt{9+bc}\le2\sqrt3

即周长，

a+b+c\le2\sqrt3+3

例题十六

在 \triangle ABC 中，

\sin A+2\sin B\cos C=0\\ c=\sqrt3b

• 求 \tan A。

考虑到第二个很适合消元 c，于是第一个式子可以看成一次齐次，

a+2b\cos C=0\\ \cos C=-{a\over2b}={a^2+b^2-c^2\over2bc}={a^2-2b^2\over2bc}

因此，

a^2=b^2\\ a=b

因为 c=\sqrt3b，这是一个 30^\circ,30^\circ,120^\circ 的等腰三角形，

\tan A=\tan30^\circ={\sqrt3\over3}

例题十七

在 \triangle ABC 中，

a^2+b^2=2022c^2

求，

{2\tan A\tan B\over\tan C(\tan A+\tan B)}

考虑到没有什么好玩的结构，因此展开正切。

\begin{aligned} S&={2\tan A\tan B\over\tan C(\tan A+\tan B)}\\ &={2\sin A\sin B\over\sin C/\cos C\cdot(\sin A\cos B+\cos A+\sin B)}\\ &={2\sin A\sin B\cos C\over\sin^2C} \end{aligned}

考虑到上下正弦构成二次齐次，正弦定理，

\begin{aligned} S&={2\sin A\sin B\cos C\over\sin^2C}\\ &={2ab\cos C\over c^2} \end{aligned}

注意到 2ab 和 \cos C 的余弦定理的分母类似，

\cos C={a^2+b^2-c^2\over2ab}

\begin{aligned} S&={a^2+b^2-c^2\over c^2}={a^2+b^2\over c^2}-1\\ &=2022-1=2021 \end{aligned}

例题十八

在锐角三角形 ABC 中，a^2-b^2=bc。

求证：A=2B。

经典题，因为角不好表示，上式又是边的二次齐次式，考虑，

\cos A={b^2+c^2-a^2\over2bc}={c^2-bc\over2bc}={c-b\over2b}\\

\begin{aligned} \cos 2B&=2\cos^2B-1=2\left({a^2+c^2-b^2\over2ac}\right)^2-1\\ &=2\left({c+b\over2a}\right)^2-1={2c^2+2b^2+4bc-4a^2\over4a^2}\\ &={2c^2-2b^2\over4b^2+4bc}={2(c+b)(c-b)\over4b(b+c)}={c-b\over2b} \end{aligned}

于是，

(\cos A=\cos2B)\Longrightarrow(A=2B)