极限与微积分

函数极限

初等函数

我们研究过常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，它们经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方和复合运算，得到的函数称为初等函数。初等函数是数学中最基本的一类函数，具有相当重要的性质。

极限定义

对于函数 f(x) 与实数 a，如果存在实数 b，使得 \forall \varepsilon > 0，\exist \delta > 0，对任意 x \in (a - \delta, a) \cup (a, a + \delta)，有 |f(x) - b| < \varepsilon，则 b 称作 f(x) 在点 a 的极限，记作

\lim_{x \to a} f(x) = b

这就是严格定义函数极限的 \varepsilon \text - \delta 语言。也就是说，对于任意 \varepsilon > 0，我们都能找到一段包含 a 但是扣去 a 的区间，使得这个区间上对应的函数值与 b 的距离都小于 \varepsilon，就称函数在点 a 处的极限为 b。

可以证明，函数在某点存在极限，则这个极限唯一。

极限性质

唯一性：若函数 f(x) 在 x_0 有极限，则极限唯一。

有界性：设函数 f(x) 在 x_0 有极限，则 f(x) 在 x_0 附近有界，即存在正数 M 和 \delta，使得只要 0<|x-x_0|<\delta，就有 |f(x)|\le M。若 a<l<b，则在 x_0 附近有 a<f(x)<b。

保序性：设 \lim_{x\to x_0} f(x)=l_1，\lim_{x\to x_0} g(x)=l_2，若在 x_0 附近有 f(x)\ge g(x)，则 l_1\ge l_2；若 l_1>l_2，则在 x_0 附近有 f(x)>g(x)。

四则运算：

\lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) \pm \lim\limits_{x \to a} g(x)

\lim\limits_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)

\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}

除法应当 \lim\limits_{x \to a} g(x) \ne 0 时。

夹逼定理：设在 x_0 附近有 g(x)\le f(x)\le h(x)，且 \lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0} h(x)=l，则 \lim_{x\to x_0} f(x)=l。

极限应用

无穷小

若 \lim\limits_{x \to a} f(x) = 0，称 f(x) 为 x \to a 时的无穷小。

根据上面的四则运算规则，可以得知：

若 f(x)，g(x) 都是 x \to a 时的无穷小，则 f(x) \pm g(x) 是 x \to a 时的无穷小。
若 f(x) 是 x \to a 时的无穷小，且 \lim\limits_{x \to a} g(x) 存在，则 f(x) \cdot g(x) 是 x \to a 时的无穷小。

但两个无穷小的商不能确定：运算法则规定了分母不能为无穷小。

设 f(x)，g(x) 为 x \to a 时的两个无穷小，且 g(x) \ne 0，当 \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} 存在时，

若 \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0，则称当 x \to a 时，f(x) 是 g(x) 的高阶无穷小。
若 \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = b \ne 0，则称当 x \to a 时，f(x) 与 g(x) 是同阶无穷小。

特别地，当 b = 1 时，称当 x \to a 时，f(x) 与 g(x) 是等价无穷小，记作 f(x) \sim g(x)\quad(x \to a)。

等价无穷小替换公式：设 f(x) \sim F(x) \quad (x \to a)，g(x) \sim G(x) \quad (x \to a)，则

\begin{aligned} & \phantom = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ & = \lim\limits_{x \to a} [\dfrac{F(x)}{G(x)} \cdot \dfrac{f(x)}{F(x)} \cdot \dfrac{G(x)}{g(x)}]\\ & = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{F(x)}{G(x)} \cdot \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{F(x)} \cdot \lim\limits_{x \to a} \dfrac{G(x)}{g(x)} \\ & = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{F(x)}{G(x)} \end{aligned}

也即对一个分式求极限时，分子与分母可以替换为它的等价无穷小，而极限值不改变，这个规则称作等价无穷小替换规则。

一个最经典的等价无穷小是 x \sim \sin x \quad (x \to 0) 和它的推论 x \sim \sin x \sim \tan x \quad (x \to 0)（证明从略）。

高中物理中一些公式的推导用到的，所谓「x 很小，将 \sin x 近似为 x」的原理，其实就是在做上面的等价无穷小替换。

连续性

我们曾用 \varepsilon－\delta 语言定义过连续性：设函数 f 在 x_0 附近有定义，如果对于任意的 \varepsilon>0，都存在 \delta>0，使得只要 |x-x_0|<\delta，就有 |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon，那么称 f 在点 x_0 连续。

现在可以用极限写出更简洁的定义：设函数 f 在 x_0 附近有定义，如果 \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)，那么称 f 在点 x_0 连续。

如果函数在某一点不连续，那么称在这一点间断。如果函数 f 在开区间 I 的每一点连续，那么称函数 f 是开区间 I 上的连续函数。

函数 f 在点 x_0 连续当且仅当

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

与左右极限对应的左右连续概念为：如果 \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)，称 f 在 x_0 左连续；如果 \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)，称 f 在 x_0 右连续。

对于闭区间 I 上的函数 f，如果 f 在区间内每一点都连续，且在左端点右连续、右端点左连续，那么称函数 f 是闭区间 I 上的连续函数。

间断点

我们再来考虑间断点。间断点有三种情况：

函数在某一点存在极限，即左右极限相等，但与函数值不相等，或者函数在这一点没有定义，即

\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)\ne f(x_0)

这类间断点称为可去间断点。因为只要修改这一点，就能变为连续函数，例如

g(x)= \begin{cases} f(x) & x\ne x_0 \\ \lim_{x\to x_0} f(x) & x=x_0 \end{cases}
函数在某一点的左右极限存在但不相等，即

\lim_{x\to x_0^-} f(x)\ne \lim_{x\to x_0^+} f(x)

这类间断点称为跳跃间断点。因为函数在 x_0 处发生了

\left|\lim_{x\to x_0^-} f(x)-\lim_{x\to x_0^+} f(x)\right|

的跳跃。可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。
函数在某一点的左右极限至少有一个不存在。这类间断点称为第二类间断点。例如，对于狄利克雷函数

D(x)= \begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}

任意的 x_0\in \mathbb{R} 都是其第二类间断点。

连续函数的四则运算和复合函数具有连续性。设函数 f(x)、g(x) 在 x_0 连续，则 f(x)\pm g(x)、f(x)g(x)、\dfrac{f(x)}{g(x)}（g(x)\ne 0）也在 x_0 连续。

设函数 u=g(x) 在区间 I 有定义，y=f(u) 在区间 J 有定义，且 g(I)\subset J。若 g 在 x_0\in I 处连续，f 在 u_0=g(x_0) 处连续，则复合函数 f\circ g 在 x_0 处连续，即

\lim_{x\to x_0} f\big(g(x)\big) = f\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right) = f\big(g(x_0)\big)

此外，连续函数的反函数同样是连续函数。

连续函数还具有局部保号性：设函数 f 在 x_0 处连续，且 f(x_0)\ne 0，则存在 \delta>0，使得只要 0<|x-x_0|<\delta，就有 f(x)f(x_0)>0。

可以证明，所有初等函数在定义域上都处处连续。

积分

求积分：

利用奇偶性求积分： 当 a, b 关于原点对称时奇函数积分为0。
利用几何法求积分 如 \int_0^6 \sqrt{9 - (x - 3)^2} = \int_{-3}^3 \sqrt{9 - x^2} 几何意义为所有到原点距离为3的点的纵坐标之和，即 r = 3 的半圆面积 \frac{9}{2}\pi。
原函数的构造 nf(x) + f'(x) = \frac{1}{e^{nx}}[e^{nx} f(x)]' f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = [f(x)g(x)]' f'(x)g(x) - f(x)g'(x) = g^2(x)[\frac{f(x)}{g(x)}]' f(x) + f'(x) \tan x = \frac{1}{\cos x} [f(x) \sin x]'

几何意义

如果在 [a,b](a\neq b) 上函数 f(x) 连续且恒有 f(x)\geq 0，那么定积分 \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx 表示由曲线 y=f(x) 以及直线 x=a,x=b,y=0 围成的曲边梯形的面积。

若 f(x)\leq 0，那么定积分 \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx 表示由曲线 y=f(x) 以及直线 x=a,x=b,y=0 围成的曲边梯形的面积的负值。

如果我们把 x 轴上方的面积赋予正号，下方的面积赋予负号，那么在一般情形下，定积分 \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx 表示由曲线 y=f(x) 以及直线 x=a,x=b,y=0 围成的各部分图形面积的代数和。

微积分基本定理 / \mathrm{Newton-Leibniz} 牛顿 - 莱布尼兹公式

以下设 C 是一个常数。

如果 f(x) 是 [a,b] 上的连续函数且 F'(x)=f(x)，那么

\boxed{\int_{a}^{b}f(x)\ dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a) }

我们称 F(x) 是 f(x) 的原函数。因为 [F(x)+C]'=f(x)，所以 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数。

常用定积分公式：

\int_{a}^{b}C\ dx=Cx|_{a}^{b}=Cb-Ca=C(b-a)

\int_{a}^{b}x^n\ dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}|_{a}^{b}=\frac{1}{n+1}b^{n+1}-\frac{1}{n+1}a^{n+1}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1} }{n+1}

\int_a^b\sin x\ dx=(-\cos x)|_a^b=-\cos b+\cos a

\int_a^b\cos x\ dx=\sin x|_a^b=\sin b-\sin a

\int_a^b\frac{1}{x}\ dx=\ln x|_a^b=\ln b-\ln a=\ln\frac{b}{a}

\int_a^b e^x\ dx=e^x|_a^b=e^b-e^a

\int_a^b n^x\ dx=\frac{n^x}{\ln n}|_a^b=\frac{n^b}{\ln n}-\frac{n^a}{\ln n}

\int_L^R \frac{cx+d}{ax+b}\ dx=\frac{cx}{a}+(\frac{d}{a}-\frac{bc}{a^2})\times\ln|ax+b|\ |_L^R

定积分的基本性质

\int_a^b Cf(x)\ dx=C\int_a^b f(x)\ dx
\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\ dx=\int_a^b f(x)\ dx\pm\int_a^b g(x)\ dx
\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx
在区间 [a,b] 上满足 f(x)\geq 0，则 \int_a^b f(x)\ dx\geq 0
在区间 [a,b] 上满足 f(x)\leq g(x)，则 \int_a^b f(x)\ dx\leq\int_a^b g(x)\ dx
\left|\int_a^bf(x)\ dx\right |\leq\int_a^b|f(x)|\ dx
若 f(x) 是偶函数，且在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^af(x)\ dx=2\int_0^af(x)\ dx
若 f(x) 是奇函数，且在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^af(x)\ dx=0

不定积分

我们现在需要一种简单的表示反导数的方式。根据微积分基本定理，我们可以用 \displaystyle\int f(x)\ dx 表示“函数 f 的反导数的集合”，注意任何可积函数都有无数个反导数，唯一不同的是常数部分。例如，

\int x^2\ dx=\frac{x^3}{3}+C

对于任意常数 C 都成立。也就是说，若 F'(x)=f(x)，则

\int f(x)\ dx=F(x)+C

不定积分的性质同定积分的性质。

换元法

第一换元积分法：令 y=g(x) 有：

\red{\boxed{\int_a^bf(g(x))g'(x)\ dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\ dy}}

\int 2\sin 2x\ dx\xlongequal{u=2x}\int\sin u\ du=-\cos u+C=-\cos 2x+C\ \ \ \ (du=2dx)
\int (2x+1)^5\ dx\xlongequal{u=2x+1}\int u^5\ du=\frac{1}{12}u^6+C=\frac{1}{12}(2x+1)^6+C\ \ \ \ (du=2dx)
\begin{aligned}\int\frac{2x}{(x^2+1)^3}\ dx&=\int(x^2+1)^{-3}\cdot 2x\ dx\xlongequal{u=x^2+1}\int u^{-3}\ du\\&=-\frac{1}{2}u^{-2}+C=-\frac{1}{2(x^2+1)^2}+C\ \ \ \ (du=2xdx)\end{aligned}
\begin{aligned}\int x\sqrt{1-x^2}\ dx&=-\frac{1}{2}\int\sqrt{1-x^2}(-2x\ dx)\xlongequal{u=1-x^2}-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\ du\\&=-\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C\ \ \ \ (du=-2dx)\end{aligned}
\int\frac{1}{x^2+a^2}\ dx=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{\frac{x^2}{a^2}+1}\ dx=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}\ d(\frac{x}{a})=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C
\int_0^1e^{2x}\ dx=\int_0^2\frac{1}{2}e^y\ dy=\frac{1}{2}(e^2-e^0)=\frac{1}{2}(e^2-1)

第二换元积分法：令 x=g(t),dx=g'(t)dt 有：

\red{\boxed{\int f(x)\ dx=\int f[g(t)]g'(t)\ dt}}

\begin{aligned}\int\frac{1}{1+\sqrt x}\ dx&\xlongequal{x=t^2}\int\frac{1}{1+t}\cdot 2t\ dt=2\int(1-\frac{1}{1+t})\ dt=2t-2\ln|1+t|+C\\&=2\sqrt{x}-2\ln|1+\sqrt{x}|+C\end{aligned}
\begin{aligned}\int\sqrt{a^2-x^2}\ dx&\xlongequal{x=a\sin t}\int a\cos t\cdot a\cos t\ dt=a^2\int \cos^2 t\ dt\\&=a^2\int\frac{1+\cos 2t}{2}dt=a^2(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t)+C\\&=a^2(\frac{1}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{4}\frac{2}{a^2}x\sqrt{a^2-x^2})+C\\&=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\end{aligned}

分部积分法

(uv)'=u'v+uv'\implies uv'=(uv)'-vu'\implies \int uv'\ dx=uv-\int vu'\ dx

\red{\boxed{\int u\ dv=uv-\int v\ du}}

计算 \displaystyle\int x\cos x\ dx，设 u=x,dv=\cos x\ dx，则 du=dx,v=\sin x \int x\cos x\ dx=x\sin x-\int \sin x\ dx=x\sin x+\cos x+C
计算 \displaystyle\int\arctan x\ dx，设 u=\arctan x,dv=dx，则 \displaystyle du=\frac{1}{1+x^2}\ dx,v=x \begin{aligned}\int \arctan x\ dx&=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\ dx\\&=x\arctan x-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}d(1+x^2)\\&=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{aligned}
计算 \displaystyle\int x\ln x\ dx，设 u=\ln x,dv=x\ dx，则 \displaystyle du=\frac{1}{x}\ dx,v=\frac{1}{2}x^2 \int x\ln x\ dx=\frac{1}{2}x^2\ln x-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{2}x^2\ dx=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C

Gamma 函数（第二类欧拉积分）

欧拉发现当 n 为整数时，\displaystyle\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\ dt=n!，于是我们把 n 替换成实数，就可变为

\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}\ dt

当 s 不是非正整数时，\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)
n 为整数时，\Gamma(n+1)=n!
余元公式（欧拉反射原理）：s\in(0,1) 时，\displaystyle\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}，得 \displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi

应用

计算 y=e^x 在 x=0 与 x=1 之间与 x 轴围成的曲边梯形的面积。

只需计算 \displaystyle\int_0^1e^x\ dx=e^1-e^0=e-1

计算 x=y^2 与 x=1 之间围成的图形的面积。

只需计算 \displaystyle\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))\ dx=\int_0^1(2\sqrt{x})\ dx=\frac{4}{3}\sqrt{x^3}|_0^1=\frac{4}{3}-0=\frac{4}{3}

【2025 GD 一模 T19】如果函数 F(x) 的导数为 F'(x)=f(x)，可记为 \displaystyle\int f(x)\ dx=F(x)，若 f(x)\geq 0，则 \displaystyle\int_a^bf(x)\ dx=F(b)-F(a) 表示曲线 y=f(x)，直线 x=a,x=b 以及 x 轴围成的“曲边梯形”的面积。如：\displaystyle\int 2x\ dx=x^2+C，其中 C 为常数；\displaystyle\int_0^2 2x\ dx=(2^2+C)-(0+C)=4，则表示由 y=2x、直线 x=0,x=2 以及 x 轴围成的面积为 4. (1) 若 f(x)=\displaystyle\int(e^x+1)\ dx,f(0)=2，求 f(x) 的表达式。 (2) 求曲线 y=x^2 与直线 y=-x+6 所围成图形的面积。 (3) 若 f(x)=e^x-1-2mx,x\in[0,+\infty)，其中 m\in\R,\forall a,b\in[0,+\infty)，若 a>b，都满足 \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx>\int_0^b f(x)\ dx，求 m 取值范围。

解：(1)\ f(x)=e^x+x+1.

(2) 先解方程 x^2=-x+6 得到 x=-3 或 2.

答案即为 \displaystyle\int_{-3}^2 (-x+6-x^2)\ dx=(-\frac{1}{2}x^2+6x-\frac{1}{3}x^3)|_{-3}^2=\frac{22}{3}-(-\frac{27}{2})=\frac{125}{6}.

(3) 由题意可知，\forall a,b\in[0,+\infty),a>b 满足 F(a)-F(0)>F(b)-F(0)，即 F(a)\uparrow，进而 f(x)\geq 0 在 [0,+\infty) 恒成立。

接下来就是常规导数了。分离参数 m\leq\frac{e^x-1}{2x}=g(x),g'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{2x^2}，令 h(x)=(x-1)e^x,h'(x)=xe^x\geq 0，即 h(x)\uparrow,g'(x)\uparrow,g(x)\uparrow，由洛必达法则，\displaystyle m\leq\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}.

微积分在数列中的应用

秒杀神秘放缩的终极方法。但是需要一些高等知识，比如说解简单的常微分方程。但是一般的方程一眼看出来就可以了，这里给出通法：

对于一阶齐次线性微分方程：

y'+P(x)y=0

解为

y=Ce^{-\int P(x)dx}

对于一阶非齐次线性微分方程：

y'+P(x)y=Q(x)

先解 y'+P(x)y=0 得到 y=Ce^{-\int P(x)dx}，再令 C=u(x) 得

y=u(x)e^{-\int P(x) dx}

代入原方程得

u'(x)=\frac{Q(x)}{e^{-\int P(x)dx}}

对 u'(x) 积分带入得到通解：

y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx

以上的 C 都为常数，由初始条件决定。

\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}，求 a_{2024} 的整数部分？

设 a_n 近似为一个连续函数 f(x)，考虑 a_{n+1}-a_n 和 \frac{1}{a_n} 的关系。对于 n\to +\infty，有

f'(x)=\frac{1}{f(x)}\implies\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{f(x)} \implies f(x)\mathrm{d}f(x)=\mathrm{d}x\\\implies\int f(x)\mathrm{d}f(x)=\int\mathrm{d}x\implies \frac{f^2(x)}{2}=x+C

由 f(1)=1 得到 \displaystyle C=-\frac{1}{2}，微分方程解得 f(x)=\sqrt{2x-1}，得到 f(2024)=\sqrt{4047}\approx 63

已知 \displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}a_n^2，则 100a_{100} 的范围是哪个：\displaystyle\left(2,\frac{5}{2}\right),\left(\frac{5}{2},3\right), \left(3,\frac{7}{2}\right) ？

\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3}{a_n(3-a_n)}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3-a_n}>\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}

\frac{1}{a_n}>a_1+\frac{n-1}{3}=\frac{n+2}{3}\implies a_n<\frac{3}{n+2}\implies 100a_{100}<3

\frac{1}{a_{n+1}}<\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3-\frac{3}{n+2}}=\frac{1}{a_n}+\frac{n+2}{3(n+1)}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3(n+1)}

\frac{1}{a_{100}}<\frac{1}{a_1}+\frac{99}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{100}\right)=34+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{100}\right)

注意到

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{100}<\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{6}\times 96=18

\frac{1}{a_{100}}<40\implies 100a_{100}>\frac{5}{2}

这道题是我们班的补充题，当时无人证出 \displaystyle >\frac{5}{2}，我们老师上课思考了不到 15 分钟讲了这种方法（他从不备课），注意力简直惊为天人。

积分法：\displaystyle f(x)=a_n,f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=-\frac{1}{3}f^2(x)\implies \int f^{-2}(x)df(x)=\int-\frac{1}{3}dx\\-f^{-1}(x)=-\frac{1}{3}x+C,f(x)=\frac{3}{x+C}\implies\frac{3}{x+2}，显然 \displaystyle 100a_{100}\in\left(\frac{5}{2},3\right). 可以代入 a_2,a_3 获得更高的精度。

已知 \displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt[3]{a_n}}，求 S_{100} 的整数部分。

答案：准确值是 2.38.

\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_n^{\frac{2}{3}}}\xlongequal{b_n=\frac{1}{a_n}}b_{n+1}=b_n+b_n^{\frac{2}{3}}\xlongequal{f(x)=b_n}f'(x)=f^{\frac{2}{3}}(x)

\int f^{-\frac{2}{3}}(x) df(x)=\int dx\implies 3f^{\frac{1}{3}}(x)=x+C\implies f(x)=\left(\frac{x+2}{3}\right)^3=\left(\frac{x-2+3\sqrt[3]{2}}{3}\right)^3

a_n=\frac{27}{(x+2)^3},\zeta(3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\approx 1.202,S_{\infty}=27\cdot 0.077=2.079

另外，欧拉常数 \displaystyle\gamma=\lim_{n\to\infty}\left[\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)-\ln n\right]=\int_1^{\infty}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right)\approx 0.57721 56649 01532 86060，于是可以估计 \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\approx\ln n+\gamma.

也可以用一个结论（Basel 问题，知乎专栏）：\red{\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\approx 1.645}}

相关证明：设黎曼 Zeta 函数 \zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\ (s>1)，显然 \displaystyle\lim_{s\to 1^+}\zeta(s)=+\infty,\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)=1.

由泰勒展开得 \displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\dots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}

因此 \displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\dots=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}①（ \displaystyle\frac{\sin x}{x} 的无穷级数展开）

熟知 \displaystyle\frac{\sin x}{x} 的无穷乘积展开 \displaystyle\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\cdots②

Basel 问题即 \displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}，比较 ①② 式中二次项系数得 \displaystyle -\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{2^2\pi^2}-\dots

由此可得 \displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}，进一步地我们有 \displaystyle\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}.

\zeta(2n)=\left[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}\pi^{2k}\zeta(2n-2k)}{(2k+1)!}\right]+\frac{(-1)^{n+1}n\pi^{2n}}{(2n+1)!}\ \ \ \ \ \ n\in\N^*

上述思路可总结出一个结论：若 \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kx^k=\prod_{k=1}^{+\infty}(1+b_kx)，设 S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}b_k^n，则 S_1=a_1,\ \ \ S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+1}a_kS_{n-k}+(-1)^{n+1}na_n

积分放缩在数列中的应用

我们熟知的积分放缩一般是这样的（证明：几何意义）

\int_1^{n+1}f(x)\ dx <\sum_{k=1}^nf(k)<\int_0^nf(x)\ dx\ \ \ \ \ \ \ \ f(x)\downarrow

\int_0 ^{n}f(x)\ dx<\sum_{k=1}^nf(k)<\int_1^{n+1}f(x)\ dx\ \ \ \ \ \ \ \ f(x)\uparrow

例如：

\begin{aligned}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k} }&>\int_1^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x} }\ dx=2\sqrt{x}|_1^{n+1}=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\\&<\int_0^n\frac{1}{\sqrt{x} }\ dx=2\sqrt{x}|_0^n=2\sqrt{n}\end{aligned}

练习 1：证明 \displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{1}{k\sqrt{k}}<\sqrt{2}\ \ \ \ \text{} 和 \ \ \ \ \displaystyle\frac{2}{3}n^\frac{3}{2}\leq\sum_{k=1}^n\sqrt{k}\leq\frac{2}{3}[(n+1)^\frac{3}{2}-n]

练习 2：证明 \displaystyle\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}<\ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\ \ \ \ \text{} 和 \ \ \ \ \displaystyle\frac{4}{7}<\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}<\ln 2<\frac{25}{36}<\frac{\sqrt{2}}{2}

练习 3：证明 \displaystyle\begin{cases}\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^p}<\frac{p}{p-1}&p>1\\\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^p}\geq\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}>\ln n&p\leq 1\end{cases}

我们还可以根据 f(x) 的凹凸性进一步放缩。

当 f(x)\downarrow 且下凸时，

\int_1^{n+1}f(x)\ dx+\frac{f(1)-f(n+1)}{2}<\sum_{k=1}^nf(k)<\int_0^nf(x)\ dx

当 f(x)\downarrow 且上凸时，

\int_1^{n+1}f(x)\ dx<\sum_{k=1}^nf(k)<\int_0^nf(x)\ dx-\frac{f(0)-f(n)}{2}

当 f(x)\uparrow 且下凸时，

\int_0^nf(x)\ dx+\frac{f(n)-f(0)}{2}<\sum_{k=1}^nf(k)<\int_1^{n+1}f(x)\ dx

当 f(x)\uparrow 且上凸时，

\int_0^nf(x)\ dx<\sum_{k=1}^nf(k)<\int_1^{n+1}f(x)\ dx-\frac{f(n+1)-f(1)}{2}

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