均值不等式

简单不等式

一般不等式

糖水不等式：

a>b>0,m>0\implies\dfrac{b+m}{a+m}>\dfrac{b}{a}

不等式加法：

a>b,c>d\implies a+c>b+d

不等式减法：

a>b,c<d\implies a-c>b-d

不等式联立：

\begin{cases} a_1<x+y<a_2\\ b_1<x-y<b_2 \end{cases}\implies\begin{cases} a_1+b_1<2x<a_2+b_2\\ a_1-b_1<2y<a_2-b_2 \end{cases}

等式的性质​：

• a=a（自反性）
• ‌a=b\Rightarrow b=a（对称性）
• a=b,b=c\Rightarrow a=c（传递性）
• a=b\Rightarrow a\pm c=b\pm c,ac=bc,\frac{a}{c}=\frac{b}{c}（c\neq 0）（替代性）
• 替代性：如果两个对象相等，那么在任何出现它们的位置，都可以用一个替代另一个，等式仍然成立。

不等式的性质​：

• a>b\Rightarrow b<a（对称性）
• a>b,b>c\Rightarrow a>c（传递性）
• a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c
• a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,c<0\Rightarrow ac<bc
• a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d（加法单调性）
• a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd（乘法单调性）
• a>b>0,n>0\Rightarrow a^n>b^n,n<0\Rightarrow a^n<b^n

常用技巧​：

• 减法可以转化为加法：a-b=a+(-b)，而除法可以转化为乘法：\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}。
• 比较两个正数 a,b>0 的常用方法：通过做差比较 a-b 与 0 的关系；通过做商比较 \frac{a}{b} 与 1 的关系。

重要不等式

a^2+b^2\ge2ab

当且仅当 a=b 成立。

例题：证明 a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca。

对 ab,bc,ca 列出重要不等式，各式相加即可得到。

高次不等式

穿根法。

• 因式分解，做数轴标根。

• 偶数次不穿过数轴，结果抠点。

• 分式不等式分解因式后当做乘法（两边同乘分母的平方），扣去无意义的点。

绝对值不等式

如果对于任意 x 都有 |f(x)|<g(x)，则

-g(x)<f(x)<g(x)

对千绝对值不等式，更多的是分类讨论去掉绝对值，结论本身并不重要。

• 函数 f(x)=|x-m|+|x-n|(m<n) 的图像是以点 A(m, n-m)，B(n, n-m) 为折点的倒梯形；f(x) 在 (-\infty, m] 上单调递减，在 [n, +\infty) 上单调递增，在 [m,n] 上无单调性，此时 f(x) 恒等于其最小值 n-m；f(x) 在 \mathbb{R} 上无最大值，其对称轴为 x=\dfrac{m+n}{2}。

• 当 m > n 时，f(x) = |x-m| - |x-n| 的图像是以点 A(n, m-n)，B(m, n-m) 为折点的“Z 字形”；在 (-\infty, n] 上函数恒取得最大值 m-n，在 [m, +\infty) 上函数恒取得最小值 n-m；函数在 [n, m] 上递减，其对称中心为 \left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)。

• 当 n > m 时，f(x) = |x-m| - |x-n| 的图像是以点 A(m, m-n)，B(n, n-m) 为折点的“反 Z 字形”；在 (-\infty, m] 上函数恒取得最小值 m-n，在 [n, +\infty) 上函数恒取得最大值 n-m；函数在 [m, n] 上递增，其对称中心为 \left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)。

a|x-m|+b|x-n|(m<n) 的图像是以 A(m, f(m))，B(n, f(n)) 为折点的折线。

• 当 a+b>0 时，两端向上无限延伸，故有最小值，最小值为 \min\{f(m), f(n)\}；
• 当 a+b<0 时，两端向下无限延伸，故有最大值，最大值为 \max\{f(m), f(n)\}；
• 当 a+b=0 时，两端无限延伸且平行于 x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 \max\{f(m), f(n)\}，最小值为 \min\{f(m), f(n)\}。

更复杂的，f(x) = |x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_n|（a_i \in \mathbb{R}, i, n \in \mathbb{N}^*, 设 a_1 < a_2 < \cdots < a_n）。

• 若 n=2k-1(k \in \mathbb{N}^*)，则 f(x) 的图像是以 (a_k, f(a_k)) 为顶点的“V 字形”图像。

  • 当且仅当 x=a_k 时，[f(x)]_{\min} = |(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}) - (a_{k+1} + a_{k+2} + \cdots + a_{2k-1})|；

  • 函数 f(x) 在 (-\infty, a_k] 上单调递减，在 [a_k, +\infty) 上单调递增，若 \{a_i\} 为等差数列，则图像关于 x=a_k 对称。

• 若 n=2k(k \in \mathbb{N}^*)，则 f(x) 的图像是以点 A(a_k, f(a_k)), B(a_{k+1}, f(a_{k+1})) 为折点的倒梯形。

  • 当且仅当 x \in [a_k, a_{k+1}] 时，[f(x)]_{\min} = |(a_1+a_2+\cdots+a_k) - (a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{2k})|；

  • 函数 f(x) 在 (-\infty, a_k] 上单调递减，在 [a_{k+1}, +\infty) 上单调递增，在 [a_k, a_{k+1}] 上无单调性。若 \{a_i\} 为等差数列，则函数图像关于 x=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2} 对称。

三角不等式

||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b|

均值不等式

二元形式

若 a,b>0，则：

\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\sqrt[2]{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt[2]{\dfrac{a^2+b^2}{2}}

理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV/。

多元形式

若 a,b>0，则：

\begin{aligned} H_n&\le&G_n&\le&A_n&\le&Q_n\\ \frac{n}{\sum_{i=1}^n{1\over x_i}}&\le&\sqrt[n]{\textstyle\prod_{i=1}^nx_i}&\le&\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}&\le&\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}} \end{aligned}

当且仅当 x_1=x_2=\dots=x_n 时，等号成立。

即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。

简记为：「调几算方」。

我们称两两为 X-Y 均值不等式，例如算数-几何均值不等式：

\sqrt[n]{x_2x_2\dots x_n}\le\dfrac1n(x_1+x_2+\dots+x_n)

可以进行推广，得到加权平均不等式：

x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\dots x_n^{\lambda_n}\le\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n

其中 x_1,x_2,\dots,x_n>0，\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n>0 且 \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1。

对勾函数

对于定义在 \R-\{0\} 的函数

f(x)=ax+\dfrac{b}{x}

设 x_0 满足

ax_0=\dfrac{b}{x_0}

即

x_0^2=\dfrac{b}{a}

不妨取正的一个解（同时 f(x)=f(y) 当且仅当 xy=\dfrac{b}{a}）。

容易知道，f(x) 在 (0,x_0] 单调递减，在 [x_0,+\infty) 单调递增。

在负半轴类似，同时因为在正半轴

f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ge2\sqrt{ab}

也就是说 f(x) 的值域是 (-\infty,-2\sqrt{ab})\cup(2\sqrt{ab},+\infty)。

常用变形

均值不等式的本质是

f(x)=\sqrt[x]{\dfrac{a^x+b^x}{2}}

在 \R 上单调递增（其中 0 可去间断）。

关于 ab（a,b\in\R）：

ab\le\dfrac14(a+b)^2\le\dfrac12(a^2+b^2)

关于 a^2+b^2（a,b\in\R）：

a^2+b^2\ge\dfrac12(a+b)^2\ge2ab

关于 a+b（a,b,\in\R_+）：

2\sqrt{ab}\le a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}

关于 \sqrt a+\sqrt b（a,b,\in\R_+）：

\sqrt{a}+\sqrt b\le\sqrt{2(a+b)}

关于 \sqrt{ab}（a,b,\in\R_+）：

\dfrac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\dfrac14(\sqrt a+\sqrt b)^2\le\dfrac12(a+b)\le\sqrt{\dfrac12(a^2+b^2)}

关于 \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}（a,b,\in\R_+）：

\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac2{\sqrt{ab}}\ge\dfrac4{a+b}

关于 \dfrac1{\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{b}}（a,b,\in\R_+）：

\dfrac{1}{\sqrt a}+\dfrac{1}{\sqrt b}\ge\dfrac4{\sqrt a+\sqrt b}\ge\dfrac8{a+b}

积定和最小，和定积最小。

若缩放所得上下界有未知数，则缩放失效。

做题方法

基本规则

基本不等式的求最值一定要满足“一正、二定、三相等”，即先判定正负性，然后判断放缩后是否为定值，最后验证取等条件。

如果不是定值，通常会导致最值不在缩放的点上，我们可以复杂，对于缩放问题，就不需要是定值了。

例题：若实数 a,b 满足 \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\sqrt{ab}，则 ab 的最小值为

我们知道

\sqrt{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{2}{ab}}

因此

ab\ge2\sqrt2

当且仅当 b=2a 时取等。

利用基本不等式求函数 f(x) 的最大值通常有三种途径：

1. 直接利用均值不等式放缩成 f(x) \le k，其中 k 为常数，最后检查等号能否成立；

2. 直接利用均值不等式放缩成 f(x) \le g(x)，然后通过解不等式获得 f(x) 的范围，最后检查等号能否成立。

3. 多次利用均值不等式放缩成 f(x) \le g(x) \le k，其中 k 为常数，最后检查所有等号成立的条件是否一致。

自由变量公式：

• 自由变量的个数等千变堂的个数减去方程的个数。

• 使用基本不等式的次数等于自由变霆的个数。

一的代换

凑系数、换元法是最基础的方法，除此之外，我们还有妙用：

• 若已知 ax+by 为定值，求它们的倒数和 \dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y} 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；

• 若已知 \dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y} 为定值，求和 ax+by 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；

• 若已知 axy+bx+cy+d=0，求和 ex+fy 的最小值，如果分解因式很显然，使用“1”的代换；否则，使用消元法。

具体的，例如已知 ax+by=C，则

\begin{aligned} \dfrac{c}{x}+\dfrac{d}{y}&=\dfrac{1}{C}(ax+by)\paren{\dfrac{c}{x}+\dfrac{d}{y}}\\ &=\dfrac{1}{C}\left(ac+bd+ad\dfrac{x}{y}+bc\dfrac{y}{x}\right)\\ &\ge\dfrac{1}{C}\left(ac+bd+2\sqrt{ad\cdot bc}\right)\\ &=\dfrac{1}{C}\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\\ \end{aligned}

当 x,y>0 时，等号当且仅当 ad\dfrac{x}{y}=bc\dfrac{y}{x} 即 \dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{bc}{ad}}。

简单变形

最常见的方法是分母不变，其他拼凑

x+\dfrac{3}{x-2}=x-2+\dfrac{3}{x-2}+2\ge\dots

x+\dfrac{3}{2x-3}=x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{2x-3}+\dfrac{3}{2}\ge\dots

如果分子的次数比分母高，通常把上面的先分下来，称为分离常数。

对于积的不等式，通常用调整常数

x(1-3x)=3x(1-3x)\cdot\dfrac13

形如 ab=a+b 的，通常转化为

1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}

加权待定

我们知道了 f(x)=\ln x 与 g(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1} 和 h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right) 的关系，那么不妨讨论 f(x) 与

\varphi(x)=\lambda g(x)+(1-\lambda)h(x)

的关系，对 y=\ln x-\varphi(x) 求导即可，此处略。

我们知道高中常见的均值不等式链：

\dfrac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}<\dfrac{a^2+b^2}{a+b}

此处不写等号因为对数平均数部分没有办法取等。

另外还有

\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2ab}{a+b}

\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{ab}

\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{2}{3}\cdot\sqrt{ab}

等形式，都可以用加权待定来理解。

• 在 x\in(1,+\infty)，

  \small\frac{x-1}{x}<\frac{2(x-1)}{x+1}<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\ln x<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<x-1

• 在 x\in(0,1)，

  \small\frac{x-1}{x}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\ln x<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\frac{2(x-1)}{x+1}<x-1

一些例题