解析几何

二次曲线

圆锥截线

用一平面去截双顶圆锥，得到的截线就是圆锥曲线。圆锥曲线是平面上满足距某定点（焦点）的距离与距某定直线（准线）的距离之比为常数 e 的点的轨迹。

不妨设 \alpha 指母线与轴的夹角（0<\alpha<90^\circ），切平面与轴的夹角为 \beta（0\le\beta\le90^\circ），则所得截线的离心率 e 仅由这两个角决定：

e = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}

角度—类型—离心率的对照：

• \beta > \alpha：椭圆，且 e < 1；\beta = 90^\circ 时 e=0，为圆。
• \beta = \alpha：抛物线，e = 1（此时平面与某条母线平行）。
• \beta < \alpha：双曲线，e > 1（平面切到两片圆锥）。

离心率与行星运动，以牛顿大炮为例（忽略太阳的引力作用）：

• 以第一宇宙速度发射：圆形。

• 大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度：椭圆形。

• 第二宇宙速度：抛物线。

• 大于第二宇宙速度：双曲线。

更加具体的几何构造，由于代数手段可以简单的解决，纯几何手段通常很少使用。但是我们最基本的要掌握用丹德林双球构造，去证明圆锥截线是一个圆锥曲线。其核心原理是，球外一点到球的所有切线，从点到切点的距离相等。根据这个，我们首先猜想平面与双球的两个交点即为二次曲线的焦点，进而取曲线上任意一点，将其到两焦点的距离转化为到圆锥侧面的交点的距离，进而得出距离之和或之差恒定。

高考中有一类综合问题，把圆锥曲线（或者直线和圆）的部分知识，融合迁移到立体几何中出题。这类问题的核心构想是，将例题问题转化为平面问题，最简单的方法显然是直接推导边角关系，通常也能得出一部分关系，其次就是转化思想，取空间几何体的某个切面，然后通过空间的构造，进而在切面中求解。丹德林双球就是一类经典的问题，如果我们要进一步求解圆锥曲线的特征，通常就需要构造界面，然后通过相似、解三角形的知识求解了，这类问题有一个简化版：

用一个平面截一个无限高的圆柱，设平面与圆柱底面的夹角为 \theta(0<\theta<90^\circ)，则截面是一个椭圆，离心率为 \sin^2\theta。

一般方程

二次曲线（二次平面曲线）是圆锥曲线的别称，本身圆锥曲线就包括我们熟知的椭圆、双曲线、抛物线之外的一些“退化”的图像，但是我们在高中课本中最常讨论的是他们的标准形式，也就是说我们已经将这些退化的图形踢出了，我们为了保持与课本的一定对应关系，我们此处讨论这些退化的，或者更一般的圆锥曲线，统一按照“二次曲线”来称呼。

二次曲线（圆锥曲线）的一般方程：在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，其一般方程为：

f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

容易发现，一般方程一定可以表示任何一个圆锥曲线（或者退化的圆锥曲线），而标准方程就只能表示中心在原点（对于椭圆和双曲线来讲）、焦点在坐标轴上的一个非常“标准”的圆锥曲线。

五点确定圆锥曲线：

• 我们发现六个系数 A,B,C,D,E,F 齐次于比例，故参数空间是五维。通常情况下，平面上任意五个点，只要没有四个或四个以上的点共线，就能唯一地确定一条圆锥曲线。这条曲线是否退化，取决于这五个点的具体位置。

• 我们不妨带入这五个点（公式略），这是一个有 5 个方程、6 个未知数的齐次线性方程组。根据线性代数理论，这样的方程组总是有非零解。如果解空间的维数是 1，那么所有的非零解都是成比例的，它们对应同一条圆锥曲线。

• 五个点唯一确定了一条圆锥曲线。若任意三点不共线，则可以确定唯一一个非退化的圆锥曲线。这五个点的位置关系直接决定了最终曲线的类型。例如，如果五个点构成一个凸五边形，那么它们确定的曲线必定是椭圆。如果一个点“远离”其他四个点，则很可能形成双曲线或抛物线。

一旦通过五个点解出了方程 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 的系数 A, B, C，我们就可以通过代数方法来判断其类型。在此之前，我们先引入二次曲线的矩阵形式表达，我们不妨记二次项矩阵为 Q：

Q=\bmatrix{A & B/2 \\ B/2 & C}

以及在齐次坐标下的增广矩阵 M：

M=\bmatrix{A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F}

这样，二次曲线就可以被表示为：

f(x,y)=\bmatrix{x & y} Q \bmatrix{x \\ y} + \bmatrix{D & E}\bmatrix{x \\ y} + F = 0

或者用齐次坐标下的增广矩阵形式：

f(x,y)=\bmatrix{x & y & 1} M \bmatrix{x \\ y \\ 1} = 0

这里面有经典的三大不变量与一半不变量，我们为了方便书写取一部分（部分字母可能存在差异，这里仅供参考）例如：

\Delta_3=\det M

\Delta_2=\det Q=AC-\dfrac{B^2}{4}

对于后者，我们通常使用它的一个变体，即：

\delta=-4\Delta_2=B^2-4AC

一个二次曲线是否退化是由 \Delta_3 决定的，而其具体的形状是由 \delta(\Delta_2) 决定的：

• 如果 \Delta_3\neq 0，则曲线是非退化的（标准的圆锥曲线）。

  • 如果 \delta<0 即 \Delta_2>0，则曲线为椭圆。

  • 如果 \delta=0 即 \Delta_2=0，则曲线为抛物线。

  • 如果 \delta>0 即 \Delta_2<0，则曲线为双曲线。

    特殊的，当 A+C=0 时，其渐近线相互垂直，称为直角双曲线。

• 如果 \Delta_3=0，则曲线是退化的（点、一两条线或无图形）。

  • 如果 \delta<0 即 \Delta_2>0，一个点或无实数图形。

    这种情况下，通常可以求解中心点坐标 x_0,y_0，如果 f(x_0,y_0)=0 就是一个点，否则无实数图形。

  • 如果 \delta=0 即 \Delta_2=0，两条平行（或重合）直线，或无实数图形。

    由于 Ax^2+Bxy+Cy^2 是一个完全平方，我们知道它是平行直线，且方向向量为 (\sqrt{C},-\sqrt{A})，设直线方程为 \sqrt{A}x+\sqrt{C}y+k=0，带入原方程消去变量，得到一个关于 k 的二次方程，解出两个 k 即可得到两条平行直线（如果有重根就是一条重合直线，如果无解即为没有实数图形）。

    当 B=0 时，还有一些简单方法，但是意义不大。

  • 如果 \delta>0 即 \Delta_2<0，两条相交直线。

    将原方程看作关于 x（或 y）的二次方程，用求根公式解出 x（或 y）。

    \Delta=(By+D)^2-4A(Cy^2+Ey+F)

    是一个关于 y（或 x）的完全平方式，开方后会得到两个线性方程。

有一些分类可以用矩阵的秩（\rank M）快速解决，但是这过于超纲且难以理解，请自行查阅。

对角化

我们知道 xy 项代表坐标轴相对曲线主轴的旋转，旋转角 \theta 记为使新坐标系 (x',y') 下的 x'y' 项系数为零的角度，满足双角公式 \cot\theta=\dfrac{A-C}{B} \tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C}。我们需要求出新坐标系下的二项次系数，不妨记 \lambda_1,\lambda_2 是矩阵 Q 的特征值，即

\lambda^2-(A+C)\lambda+(AC-B^2/4)=0

或者

\lambda^2-(A+C)\lambda+\Delta_2=0

二次方程变为：

\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+D'x'+E'y'+F=0

其中 D',E' 是原 D,E 在新坐标系下的分量。

消除平移

对于有中心对称的曲线（椭圆、双曲线），其中心 (x_0,y_0) 是函数 f(x,y) 的梯度为零的点，我们列出：

\dfrac{\partial f}{\partial x}=2Ax+By+D=0

\dfrac{\partial f}{\partial y}=Bx+2Cy+E=0

解得：

\left\{\begin{aligned} x_0&=\dfrac{BE-2CD}{B^2-4AC}&=\dfrac{BE-2CD}{\delta}\\ y_0&=\dfrac{BD-2AE}{B^2-4AC}&=\dfrac{BD-2AE}{\delta} \end{aligned}\right.

注意到 \delta=0 是显然无解的，这再次说明抛物线没有中心。

标准方程

我们先将任一坐标 (x,y) 旋转 \theta，然后将坐标原点平移到 (x_0,y_0)，即可得到二次曲线的标准方程：

\lambda_1(x'')^2+\lambda_2(y'')^2+F'=0

常数项可以通过将 (x_0,y_0) 带入原方程得到，也有更优雅的公式：

F'=f(x_0,y_0)=\dfrac{\Delta_3}{\Delta_2}

如果二次曲线是椭圆，则根据上面的方程，其参数 a,b 分别为：

\left\{\environment{aligned}{ a^2&=-\dfrac{\Delta_3}{\lambda_1\Delta_2}\\ b^2&=-\dfrac{\Delta_3}{\lambda_2\Delta_2} }\right.

然后我们就可以按部就班的求出新坐标系下的焦点坐标（求出 c 即可）：

c^2=|a^2-b^2|=\vert{\dfrac{\Delta_3(\lambda_1-\lambda_2)}{\Delta_2\lambda_1\lambda_2}}=\vert{\dfrac{\Delta_3(\lambda_1-\lambda_2)}{\Delta_2^2}}

将焦点坐标变换回原始坐标系即可：

\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}\pmatrix{x''\\ y''}+\pmatrix{x_0\\ y_0}

将 F_{1,2}'' 的坐标（注意焦点在哪个坐标轴上）代入上式，即可得到原始坐标系下的焦点坐标。

离心率统一公式：

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}

此处 \eta=-\op{sgn}\Delta_3，即 \Delta_3 为负则 \eta =1，否则 \eta=-1。

圆锥曲线的极坐标定义：

\rho=\dfrac{ep}{1\pm e\cos\theta}=\dfrac{L}{1\pm e\cos\theta}

这个形式极为简洁，其中 L 为半通径，在椭圆中有 L=a(1-e^2)，常在焦点三角形中用到，我们会在那里详细解释。

模糊设法

我们知道一个方程（对于非退化的椭圆和双曲线来说）：

mx+ny=1

既可以表示椭圆，也可以表示双曲线，也可以表示二者的焦点在 x,y 轴上。

这种设法，在某些题目中可以减少不必要的分类讨论，称为模糊设法，我们知道判断这样一个方程是什么图形，只需要看 m,n 的正负和绝对值大小即可。

齐次化的方法：我们通常用一个一次的去乘给另一个等式中低次项，得出的式子既是齐次的、又是联立的，直接解出来就可以得到交点坐标。一个顶点、两个动点，且是求斜率之和、之积类问题，是经典的齐次化题型。通常我们还会结合将顶点平移到原点。

我们知道 Ax^2+Bxy+Cy^2=0 可以表示两条过原点的直线，那么，当我们处理一条直线 \lambda x+\mu y=1 和圆锥曲线的两个交点时，不妨用一的代换将圆锥曲线齐次化。将圆锥曲线方程中的一次项乘以 \lambda x+\mu y，常数项乘以 (\lambda x+\mu y)^2，例如：

\begin{aligned} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\ b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0\\ b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2(\lambda x+\mu y)^2=0\\ b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2(\lambda^2x^2+\lambda\mu xy+\mu^2y^2)=0\\ b^2(1-a^2\lambda^2)x^2-2a^2b^2\lambda\mu xy+a^2(1-b^2\mu^2)y^2=0 \end{aligned}

这个式子就表示原点 O 和两个交点 A,B 构成的直线 OA,OB。例如，如果我们知道 OA\perp OB，那么只需要令

b^2(1-a^2\lambda^2)+a^2(1-b^2\mu^2)=0

即可，非常方便，不妨记这三项分别为 A,B,C，那么：

根据这些要求可以求出参数满足的条件，进而下一步解题即可。

其他曲线

卡西尼卵形线

卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，我们不妨设两顶点 F_1=(-c,0),F_2=(c,0)，曲线上的点 P(x,y) 满足

|PF_1|\cdot|PF_2|=b^2

卵形线的形状与比值 b/c 有关：

• 如果 b/c 大于 1，则轨迹是一条闭曲线。

• 如果 b/c 小于 1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

• 如果 b/c 等于 1，则是伯努利双扭线。

伯努利双纽线的形状类似无穷大的符号，是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。

卡西尼卵形线的推导相对复杂，尤其是纯坐标运算，很难快速得出有用的结论，但是我们有一些简化的技巧，先不妨写出坐标方程：

[(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]=b^4

(x^2+c^2+y^2+2cx)(x^2+c^2+y^2-2cx)=b^4

(x^2+c^2+y^2)^2-4c^2x^2=b^4

注意到左侧 x^2+y^2 的形式很好看，不妨设：

\begin{cases} x=\rho\cos\varphi\\ y=\rho\sin\varphi \end{cases}

因此：

(\rho^2+c^2)^2-4c^2\rho^2\cos^2\varphi=b^4

\cos^2\varphi=\dfrac{\rho^2+c^4-b^4+2c^2}{4c^2}

我们考虑双纽线 b=c，就会得到一个相当简单的式子：

\cos^2\varphi=\dfrac{\rho^2+2c^2}{4c^2}

\rho^2=2c^2\cos2\varphi

因此：

\begin{cases} x^2=2c^2\cos^2\varphi\cos2\varphi\\ y^2=2c^2\sin^2\varphi\cos2\varphi \end{cases}

如果我们要求最值的话，不妨：

\begin{cases} x^2=2c^2\cos^2\varphi(2\cos^2\varphi-1)\\ y^2=2c^2\sin^2\varphi(1-2\sin^2\varphi) \end{cases}

然后就是简单的二次函数问题了。

拉梅曲线

超椭圆也称为拉梅曲线，是在笛卡儿坐标系下满足以下方程式的点的集合：

\vert{\dfrac{x}{a}}^n+\vert{\dfrac{y}{b}}^n=1

其中 a, b, n 为正数。上述方程式的解是一个在 -a \le x \le a 及 -b \le y \le b 矩形内的封闭曲线，参数 a 及 b 称为曲线的半直径。

• 当 0 < n < 1 时，超椭圆的图形类似一个四角星，四边向内凹。
• 当 n = 1 时，超椭圆的图形为一菱形，四个顶点为 (\pm a, 0) 及 (0, \pm b)。
• 当 1 < n < 2 时，超椭圆的图形类似菱形，但四边是向外凸的曲线，越接近顶点曲率越大。
• 当 n = 2 时，超椭圆的图形即为椭圆（若 a = b 则为圆）。
• 当 n > 2 时，超椭圆的图形类似圆角矩形，在 (\pm a, 0) 及 (0, \pm b) 四点处的曲率为 0。
• 其中 n = 4 的超椭圆也称为方圆形。n < 2 的超椭圆称为次椭圆，n > 2 的超椭圆称为过椭圆。

内摆线（圆内螺线）是所有形式为：

\begin{cases} x = \cos\theta + \dfrac{1}{n}\cos n\theta \\ y = \sin\theta - \dfrac{1}{n}\sin n\theta \end{cases}

的曲线，其中 n 为正实数。

勒洛多边形

勒洛三角形，又被称为弧三角形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。

勒洛多边形是勒洛三角形的拓展：

将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。

方程联立

双曲线联立直线，一定要先把一般方程化为整式。

注意直线不一定都可以表示为 y=kx+b，平行于 y 轴的斜率不存在。

若直线过曲线的左顶点或者右顶点，我们应该设直线方程为 x = ty + m；若直线过曲线的上顶点或者下顶点，我们应该设直线方程为 y = kx + m。

若直线过曲线的顶点，一般来说我们都将另—个交点的坐标求出。

椭圆联立

椭圆与直线有三种情况，相切、相交、相离

我们设椭圆的一般方程

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

不妨先化为整式

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2

设直线方程为 y=kx+m，带入

\begin{aligned} b^2x^2+a^2(kx+m)^2&=a^2b^2\\ b^2x^2+a^2(k^2x^2+m^2+2kmx)&=a^2b^2 \end{aligned}

化简得到

(b^2+a^2k^2)x^2+2kma^2x+a^2m^2-a^2b^2=0

我们知道

\begin{aligned} \Delta&=4k^2m^2a^4-4a^2(m^2-b^2)(b^2+a^2k^2)\\ &=4a^2[k^2m^2a^2-(m^2-b^2)(b^2+a^2k^2)]\\ &=4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2) \end{aligned}

• 相交：b^2+a^2k^2-m^2\ge0。
• 相切：b^2+a^2k^2-m^2=0。
• 相离：b^2+a^2k^2-m^2<0。

如果相交，此时两交点之间的距离有

\begin{aligned} |AB|&=\sqrt{k^2+1}\cdot|x_a-x_b|\\ &=\sqrt{k^2+1}\cdot\dfrac{2ab\sqrt{b^2+a^2k^2-m^2}}{b^2+a^2k^2} \end{aligned}

前者为硬解定理，后者为弦长公式。

直线 \ell:y = kx + m 与曲线相交于 A, B，若弦长或三角形的面积已知，则斜率 k 与 m 必定满足某一个方程。

双曲线联立

根据双曲线的两条渐近线，因此双曲线与直线有也有三种情况，相切、相交、相离

我们设双曲线的一般方程

\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1

不妨先化为整式

b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2

设直线方程为 y=kx+m，带入

\begin{aligned} b^2x^2-a^2(kx+m)^2&=a^2b^2\\ b^2x^2-a^2(k^2x^2+m^2+2kmx)&=a^2b^2 \end{aligned}

化简得到

(b^2-a^2k^2)x^2-2kma^2x-a^2m^2-a^2b^2=0

我们分类讨论二项式系数

注意，如果直线与双曲线有一个交点，则可能有两种情况。

抛物线联立

不妨设抛物线

y^2=2px

联立直线 y=kx+m，得到

k^2x^2+(2km-2p)x+m^2=0

若 k=0，则有一个交点。

若 k\neq0，我们知道

\Delta=4p^2-8kmp=4p(p-2km)

因此：

• 若 p-2km\ge0：相交。

• 若 p-2km=0：相切。

• 若 p-2km<0：相离。

同样有弦长公式

\begin{aligned} |AB|&=\sqrt{k^2+1}\cdot|x_a-x_b|\\ &=\sqrt{k^2+1}\cdot\dfrac{\sqrt{p(p-2km)}}{k^2} \end{aligned}

如果我们知道直线与 x 轴的交点，例如过抛物线的焦点，不妨设直线方程 x=ky+m，联立的时候直接带入，得到

y^2-2pky-2pm=0

此时就可以避免平方了。

硬解定理

二次曲线系

我们知道两条直线 L_1=0,L_2=0 可以共用一个退化的“二次曲线”来表示，即为 L_1\cdot L_2=0，这给我们一个启示，两条直线与圆锥曲线联立，不妨用这个二次曲线去联立。

例如，两条平行直线交双曲线 E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0) 左、右支于四个点 A,B,C,D，不妨设 AB(L_1),CD(L_2) 交于点 P(x_c,y_c)，我们不妨设：

\begin{cases} L_1:&Ax+By+C_1=0\\ L_2:&Ax+By+C_2=0 \end{cases}

我们不妨设：

C:L_1\cdot L_2

我们知道 A,B,C,D 即过 E，也过 C，因此不妨构造：

\Gamma:E+\lambda C=E+\lambda L_1L_2

那么一定存在一个 \lambda 使得 \Gamma 过点 P，即为过 P 的两条相交直线，我们不妨写出这个二次曲线的中心点坐标，令其即为 (x_0,y_0)，即可得到参数的关系。

这里有一个二级结论：两条斜率为 k 的平行直线分别与双曲线相交，则同一支上两个交点连线，两条直线的交点 P 一定满足：

k\cdot k_{OP}=\dfrac{b^2}{a^2}

即 P 一定在：

y=\dfrac{b^2}{a^2k}x

上面。

切线方程

方法一（判别式）：

• 我们知道相切即有且仅有一个交点，利用判别式：

  设切线为 y=kx+b，联立曲线方程，令判别式 \Delta=0。

方法二（求导法）：

• 我们令曲线方程为 F(x,y)=0，对 F 求导。

• 我们利用导数中讲的隐函数求导：

  将 y 看作 f(x)，利用链式法则进行求导。

• 或者更简单的，我们利用偏导：

  y'=-\dfrac{F_x}{F_y}

  其中

  \begin{aligned} F_x&=\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)\\ F_y&=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y) \end{aligned}

• 对于求导后的结果，带入曲线上的点即可得到曲线在该处的切线。

经过推导，我们得出椭圆的切线方程

\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1

同理，双曲线的切线方程

\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1

对于一般的圆锥曲线

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

其切线方程就是

Ax_0x+B\cdot\dfrac{x_0y+xy_0}{2}+Cy_0y+D\cdot\dfrac{x_0+x}{2}+E\cdot\dfrac{y_0+y}{2}+F=0

也就是说我们替换

\begin{cases} x^2&\gets x_0x\\ y^2&\gets y_0y\\ x&\gets\dfrac{x_0+x}{2}\\ y&\gets\dfrac{y_0+y}{2}\\ xy&\gets\dfrac{x_0y+xy_0}{2} \end{cases}

得到的就是 F 在 (x_0,y_0) 处的切线方程。

切点弦方程：设过椭圆外一点 A=(x_0,y_0) 有椭圆的切线 AB,AC，其中 B=(x_1,y_1),C=(x_2,y_2) 为切点，则 BC 的方程也为

\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1

证明：根据 AB,AC 是切线，列出 AB,AC 的直线方程

\begin{cases} \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\\ \dfrac{x_2x}{a^2}+\dfrac{y_2y}{b^2}=1\\ \end{cases}

我们知道 A(x_0,y_0) 在这两条直线上，因此带入 (x,y)=(x_0,y_0)

\begin{cases} \dfrac{x_1x_0}{a^2}+\dfrac{y_1y_0}{b^2}=1\\ \dfrac{x_2x_0}{a^2}+\dfrac{y_2y_0}{b^2}=1\\ \end{cases}

因此不妨令直线

\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1

则一定有 B(x_1,y_1),C(x_2,y_2) 一定在这条直线上。

设而不求

通过合适的设，可以大大简化计算量。

直线斜率互补：

• 若 A(x_0, y_0) 为椭圆 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0) 上的点，E, F 是椭圆上的两个动点，直线 AE 的倾斜角与直线 AF 的倾斜角互补，则直线 EF 的斜率为定值 (1-e^2)\dfrac{x_0}{y_0}，且和椭圆在点 A 处的切线的斜率互为相反数。（其中 e 为椭圆的离心率）

• 若 A(x_0, y_0) 为双曲线 \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a>0, b>0) 上的点，E,F 是双曲线上的两个动点，直线 AE 的倾斜角与直线 AF 的倾斜角互补，则直线 EF 的斜率为定值 (1-e^2)\dfrac{x_0}{y_0}，且和双曲线在点 A 处的切线的斜率互为相反数。（证明过程可类比上述证明椭圆相关性质的过程）。

• 若 A(x_0, y_0) 为抛物线 y^2 = 2px(p>0) 上的点，E, F 是抛物线上的两个动点，直线 AE 的倾斜角与直线 AF 的倾斜角互补，则直线 EF 的斜率为定值 -\dfrac{p}{y_0}，且和抛物线在点 A 处的切线的斜率互为相反数。

曲线上点

在圆锥曲线问题中，常用的简化计算的方法，除了设而不求，还有设线解点、齐次化联立，和一些通过坐标等符号运算的不联立、不韦达做法。

设线解点：已知圆锥曲线上一点，过这一点做直线，与圆锥曲线交于另外一点，则可以直接设出这条直线的斜率，用点斜式表示直线，联立直线，然后用韦达定理得出两根之积、和，因为已知一点坐标，因此另一点坐标可以用已知点和两个之和或之积直接得出，如果有一个是零，那么用和，否则一般用积。

齐次化联立：齐次化后，在二次曲线中一般是得到齐二次式，通过除去二次，可以得到关于某一比值的一元二次方程，再根据韦达定理可以得出这个比值的两个取值的关系。这个比值通常就是斜率。当给出过一点两条直线斜率的关系时，就可以这么做。设线时根据线不过这一点 P(x_0,y_0) 设为 \ell:m(x-x_0)+n(y-y_0)=1，然后一次二次联立，用上式进行其次化，将一次，或者零次带入若干次，最终得到化简的二次式，即可得到关于 P 点的斜率之积和之和了。

定点定线

通常来说，求一个点在定直线上，求一条直线过定点，这类问题经常能够转化为极点极线问题，或者是极点极线的思想——射影几何——对偶性，即点和线是可以相互转化的，定点和定直线之间存在互极的关系。

Frégier 定理（费雷吉尔定理）是关于圆锥曲线的几何定理，描述了二次曲线上定点 P 的两条连线斜率之积与弦 PM 经过定点的关系。若 P 是圆锥曲线 E 上一点，弦 MN 的两端连线 PM,PN 斜率之积 k_1,k_2 为定值，则弦 MN 必过一特定点，该定点通常称为Frégier 点。Frégier 定理适用范围于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，以椭圆为例：

具体形式：对于椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，当点 P 处的两条斜率满足 k_1k_2=\lambda，弦 MN 经过定点 D(\mu x_0,-\mu y_0)，其中

\mu=\dfrac{\lambda a^2+b^2}{\lambda a^2-b^2}

可以用齐次化构造，将曲线平移或直接构造代数化的隐坐标解决，当然如果 \lambda=\dfrac{b^2}{a^2} 需要单独讨论。

这个性质非常好用，建议背过。这一类模型俗称“手电筒模型”，参考 定点之Fregier定理 - 知乎 和 圆锥曲线Fregier定理：定点与定斜率和积 - 知乎。

拓展定理

托勒密定理

托勒密定理指出：圆内接凸四边形中，两组对边的乘积之和等于两条对角线的乘积。

AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

广义托勒密定理指出，任意凸四边形左式大于等于右式，取等当且仅当为圆内接。

AB\cdot CD+AD\cdot BC\ge AC\cdot BD

若线段 AB 与 CD 相交于 M，则 A, B, C, D 四点共圆等价于 |MA| \cdot |MB| = |MC| \cdot |MD|。

相交弦定理

圆的两条弦 AB,CD 相交于点 P，如图

则

|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|

如果 P 在圆内也成立。

圆幂定理

圆幂定理（点幂定理，Power of a Point）不只是三条公式（相交弦/割线/切割线），而是一种把“点—直线—圆”的长度关系压缩成不变量的思维工具。对于圆 \odot(O,r) 与平面内一点 P，定义点 P 关于该圆的幂为：

\Pi(p)=|OP|^2-r^2

也就是说，如果 P 在圆外那么 \Pi(P) 是正数，在圆内是正数。\Pi(P) 衡量了一个点离圆有多远，而且它不是线性关系，而是平方尺度的不变量，所以经常与相似、勾股、幂等乘积自然兼容。

定义了幂，我们就可以快速写出三个关于点幂的定理：相交弦定理、两割线定理、切割线定理。我们这里先给出一个“统一”的视角，方便理解和记忆：对于园内外任意一点 P，做一条线与圆相交或相切，设其交点分别为 A,B（如果是切线那么 A,B 两点重合），则必有对于所有的做法，都有

|PA|\cdot|PB|=|\Pi(P)|

注意：常规的写法是区分割切线，但是他们的形式非常相似。而至于为什么是绝对值，正常的写法往往是列两条线，写这个值相等，但是因为是长度之积，我们没必要区分正负号。我们下面展开来说，会看的更清楚些。

统一证明思路：

• 纯几何（相似三角形）证明的套路

  典型做法：把“圆周角相等”转化为某两三角形相似，从而得到乘积相等（PlanetMath 给出了一个标准相似证明框架）。

  你在中学几何里常见的“神来一笔”其实就是：通过圆周角或弦切角找相等角、拼出相似、产出比例、交叉相乘得到“乘积不变量”。

• 解析几何的一步到位理解

  把过 P 的直线参数代入圆方程，会得到关于参数 t 的二次方程；两交点对应两根 t_1,t_2，于是 t_1t_2=\Pi(P) 从而得到 PA\cdot PB 为常数（与割线方向无关）。Power of a point - Wikipedia 给了这种统一推导。

  直觉升级：圆幂定理本质上是“圆与一条过点直线相交所产生的二次方程，其两根乘积固定”。

根轴与根心（等幂点的轨迹）：

• 根轴：两圆的“等幂点轨迹”是一条直线。对两圆 c_1,c_2，满足

  Pi_1(P)=\Pi_2(P)

  的点 P 的轨迹是一条直线，称为根轴。

  它的关键性质（做题很好用）：根轴垂直于两圆圆心连线（只要两圆不同心）；若两圆相交，根轴就是公共弦所在直线（过两个交点）；若两圆相切，根轴过切点，且就是公切线方向上的某条线（更严格表述见同轴圆系的分类）、两圆相交，问“公共弦方程/公共弦位置/公共弦中点”。

• 根心（幂心）：三圆根轴共点，三圆两两的根轴要么平行，要么共点；共点时交点叫根心或幂心（radical center/power center）。

  证明三条线共点：把它们识别成“三对圆的根轴”，构造与三圆都正交的圆（更竞赛向，但思想很统一）。

• 把“点幂”当成一个可计算的函数

  标准圆直接算幂圆 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，点 P(x_0,y_0) 的幂：

  \Pi(P)=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2

  一般式圆代入就得到幂（非常常用），若圆为

  x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

  把 P(x_0,y_0) 代入左边得到的数

  \Pi(P)=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F

  在配方意义下就是 \Pi(P)（差一个固定的配方常数但本质等价；用标准式/圆心半径法可严格推出）。其威力在于：切线长平方、割线乘积、根轴条件都能变成“代入值相等”。

• 根轴的方程：两圆方程相减（秒出直线）。

  两圆 S_1=0,S_2=0 的根轴就是 S_1-S_2=0，因为等幂就是两幂函数相等；在坐标里对应两圆方程相减后 x^2,y^2 消去，必是直线。

  这就是很多解析几何题里“公共弦方程/根轴方程”一行结束的原因：你不是在“算交点”，而是在“算等幂点的轨迹”。

更多内容详见 Similarity points, common power of two circles - Power of a point - Wikipedia。

西姆松定理

点 P 到 \triangle ABC 各边的投影共线，当且仅当 P 位于该三角形的外接圆上（如图左）。

斯坦纳线定理：一个三角形外接圆上任意一点（该点不为三角形顶点）关于三角形三边的对称点，这三个对称点是共线的，并且这条直线（称为斯坦纳线）必经过该三角形的垂心。

如右图，假设点 P 位于三角形 ABC 的外接圆上。在外接圆上选择一点 B'，使得直线 PB' 垂直于 AC。那么 BB' 平行于 P 的西姆松线。

推论：当点 P 沿圆周移动时，西姆松线以弧 PA 变化率的一半的速率向相反方向旋转。

定点速求

对于动直线 MN，如果可以将其上任意两点的坐标用一个参数 t 表示，例如 M(f,g),N(u,v)，其中省略了 (t)，则可以用下面的方法判断并求出直线过的定点。

首先，我们引入齐次坐标，设 \bm p=(f,g,1),\bm q=(u,v,1)，如果式子中有分式，通常直接把分母乘上，此时后面的 1 也要乘上对应的系数，我们在后面的例题中详细展示。

我们知道，直线 MN 此时可以表示为：

\bm L=\bm p\times\bm q

我们此时用行列式的方法求出矢量积，此处的方向不重要，重点是求出直线的形式。然后我们知道，如果直线过定点 \bm X，那么对于任意时刻 t，定点 \bm X 都在直线 \bm L 上，可以表示为：

\bm L(t)\cdot\bm X=0

我们对两边求导，两个式子都对任意 t 成立：

\bm L'(t)\cdot\bm X=0

因此我们发现 \bm X 就是 \bm L(t) 和 \bm L'(t) 的法向量（与两个向量均垂直），因此不妨取：

\bm X=\bm L\times\bm L'

最后归一化求出其在笛卡尔坐标系的对应坐标即可。

容易知道，如果最后化出来的坐标是常数，那么过定点；如果不是常数，那么就不过定点了，此时这条直线应当为某个曲线的包络线方程，具体的，我们将其横纵坐标进行代数运算，消去未知量 t，得到的方程就应该是曲线方程，这个方法可以用于由包络线方程求曲线方程。

下面我们给出几道例题，展示一下完整的求解过程。